期望值

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機率論統計學中,一個離散性隨機變數期望值(或數學期望、或均值,亦簡稱期望,物理學中稱為期待值)是試驗中每次可能結果的機率乘以其結果的總和。換句話說,期望值是隨機試驗在同樣的機會下重複多次的結果計算出的等同「期望」的平均值。需要注意的是,期望值並不一定等同於常識中的「期望」——「期望值」也許與每一個結果都不相等。(換句話說,期望值是該變數輸出值的平均數。期望值並不一定包含於變數的輸出值集合裡。)

例如,擲一枚六面骰子,其點數的期望值是3.5,計算如下:

\begin{align}
\operatorname{E}(X)& = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6}
+ 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}\\[6pt]
& = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3.5,
\end{align}

3.5不屬於可能結果中的任一個。

賭博是期望值的一種常見應用。例如,美國輪盤中常用的輪盤上有38個數字,每一個數字被選中的機率都是相等的。賭注一般押在其中某一個數字上,如果輪盤的輸出值和這個數字相等,那麼下賭者可以將相當於賭注35倍的獎金(原注不包含在內),若輸出值和下壓數字不同,則賭注就輸掉了。因此,考慮到38種所有的可能結果,以1美元賭注押一個數字上獲利的期望值為:

\left( -\$1 \times \frac{37}{38} \right) + \left( \$35 \times \frac{1}{38} \right)= -$\frac{1}{19} \approx -$0.0526.

結果約等於-0.0526美元。也就是說,平均起來每賭1美元就會輸掉5美分,即美式輪盤以1美元作賭注的期望值為0.0526美元
在賭博中,

一場每位參與者獲利期望值為0(沒有淨利或淨虧)的遊戲通常會被叫做「公平競賽」。

數學定義[編輯]

如果X是在機率空間(Ω, P)中的一個隨機變數,那麼它的期望值E[X]的定義是:

\operatorname{E}[X] = \int_\Omega X\, dP

不是每一個隨機變數都有期望值的,因為有的時候這個積分不存在。
如果兩個隨機變數的分布相同,則它們的期望值也相同。

如果X 是一個離散的隨機變數,輸出值為x1, x2, ...,
和輸出值相應的機率為p1, p2, ...(機率和為1),
級數\operatorname\sum_i p_i x_i'絕對收斂,那麼期望值E[X]是一個無限數列的和。

\operatorname{E}[X] = \sum_i p_i x_i

上面賭博的例子就是用這種方法求出期望值的。

如果X是一個連續的隨機變數,存在一個相應的機率密度函數fx),
積分 \int_{-\infty}^\infty x f(x)\, dx絕對收斂,那麼X 的期望值可以計算為:

\operatorname{E}[X] = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\, dx


是針對於連續的隨機變數的,與離散隨機變數的期望值的演算法同出一轍,由於輸出值是連續的,所以把求和改成了積分。

特性[編輯]

::\operatorname{E}[aX+bY]=a\operatorname{E}[X]+b\operatorname{E}[Y]

XY 為在同一機率空間的兩個隨機變數(可以獨立或者非獨立),ab 為任意實數
  • 一般的說,一個隨機變數的函數的期望值並不等於這個隨機變數的期望值的函數。

::\operatorname{E}[g(X)] = \int_{\Omega} g(x) f(x)\, dx \neq g(\operatorname{E}[X]),

  • 一般情況下,兩個隨機變數的積的期望值不等於這兩個隨機變數的期望值的積

特殊情況是當這兩個隨機變數是相互獨立的時候\operatorname{E}[XY]=\operatorname{E}[X] \operatorname{E}[Y](也就是說一個隨機變數的輸出不會影響另一個隨機變數的輸出)。

期望值的運用[編輯]

統計學中,當估算一個變數的期望值時,一個經常用到的方法是重複測量此變數的值,然後用所得數據的平均值來作為此變數的期望值的估計

機率分布中,期望值和變異數標準差是一種分布的重要特徵。

經典力學中,物體重心的演算法與期望值的演算法十分近似。