條件收斂

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條件收斂數學無窮級數廣義積分的一種性質。收斂但不絕對收斂的無窮級數或廣義積分稱為條件收斂的。一個積分條件收斂的函數也稱為條件可積函數。

詳細定義[編輯]

條件收斂的級數[編輯]

給定一個實數項無窮級數A = \sum_{n} a_n,如果它自身收斂於一個定值C \in \mathbb{R}

 \sum_{n=1}^\infty a_n = C,

但由每一項的絕對值構成的正項級數:A_s = \sum_{n} | a_n |不收斂:

 \sum_{n=1}^\infty | a_n | = \infty ,

那麼就稱這個無窮級數A = \sum_{n} a_n是一個條件收斂的無窮級數。[1]:149

條件收斂的廣義積分[編輯]

給定一個在區間[a, \infty)上有定義的函數f(x),如果f(x)在任意的閉區間[a, b]上都可積,並且廣義積分:

\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = \lim_{b\to +\infty} \int_{a}^b f(x) \mathrm{d}x

收斂,而函數絕對值的廣義積分:

\int_{a}^{+\infty} |f(x)| \mathrm{d}x = \lim_{b\to +\infty} \int_{a}^b |f(x)| \mathrm{d}x

發散,那麼就稱廣義積分\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x條件收斂。[2]:104

例子[編輯]

無窮級數[編輯]

常見的條件收斂的無窮級數包括交錯調和級數

A_{h} = 1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \cdots = \sum_{n} \frac{(-1)^{n+1}}{n}

它收斂到定值:\ln 2,而對應的由每項的絕對值構成的正項函數:H = \sum_n \bigg| \frac{(-1)^{n+1}}{n} \bigg| = \sum_{n}\frac{1}{n}叫做調和級數,是發散的。

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} =  \infty.

廣義積分[編輯]

條件收斂的廣義積分的一個例子是函數:\frac{\sin x}{x}在正實數軸上的積分:

I = \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d}x

任取實數a > 1,運用分部積分法可以得到:

\int_{1}^{a} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d}x = \cos 1 - \frac{\cos a}{a} - \int_{1}^{a} \frac{\cos x}{x^2} \mathrm{d}x

而對任意的正實數A, B > 1

\Bigg | \int_{A}^{B} \frac{\cos x}{x^2} \mathrm{d}x \Bigg | \leqslant  \int_{A}^{B} \frac{|\cos x |}{x^2} \mathrm{d}x   \leqslant  \int_{A}^{B} \frac{1 }{x^2} \mathrm{d}x  \leqslant \frac{1}{A}

柯西收斂原理可知廣義積分\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos x}{x^2} \mathrm{d}x 收斂,所以

\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d}x = \lim_{a\to +\infty}\int_{1}^{a} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d}x =\cos 1 -  \lim_{a\to +\infty} \frac{\cos a}{a} -  \lim_{a\to +\infty}\int_{1}^{a} \frac{\cos x}{x^2} \mathrm{d}x 
= \cos 1 - \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos x}{x^2} \mathrm{d}x

即積分:I = \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d}x 收斂。但是,絕對值函數的積分:I_s = \int_{1}^{+\infty} \bigg|\frac{\sin x}{x} \bigg| \mathrm{d}x 不收斂。這是因為對任意自然數k,積分:

I_k = \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \bigg|\frac{\sin x}{x} \bigg| \mathrm{d}x \geqslant \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin x|}{(k+1)\pi} \mathrm{d}x = \frac{2}{(k+1)\pi} = \frac{2}{\pi}\cdot \frac{1}{k+1}

所以

I_s = \int_{1}^{+\infty} \bigg|\frac{\sin x}{x} \bigg| \mathrm{d}x \geqslant \sum_{k=1}^{+\infty} I_k \geqslant \frac{2}{\pi}\cdot \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k+1} = +\infty

因此,積分I = \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d}x 是條件收斂的。[2]:104-106

相關定理[編輯]

\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma (n)} = C.

此外,也存在另一種排列\sigma' : \, \, n \mapsto \sigma' (n),使得

\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma' (n)} = \infty.

類似地,也可以有辦法使它的部分和趨於-\infty,或沒有任何極限。[3]:192

反之,如果級數是絕對收斂的,那麼無論怎樣重排,它仍然會收斂到同一個值,也就是級數的和。[3]:193

參見[編輯]

參考來源[編輯]

  1. ^ J. A. Fridy. Introductory analysis: the theory of calculus. Gulf Professional Publishing. 2000. ISBN 9780122676550. 
  2. ^ 2.0 2.1 清華大學數學科學系. 《微積分》. 北京: 清華大學出版社有限公司. 2003. ISBN 9787302069171. 
  3. ^ 3.0 3.1 S. Ponnusamy. Foundations of mathematical analysis. Springer. 2012. ISBN 9780817682927.