極限 (數學)

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微積分學
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函數 · 導數 · 微分 · 積分

極限是現代數學特別是分析學中的基礎概念之一。極限可以用來描述一個序列的指標愈來愈大時,序列中元素的性質變化的趨勢。極限也可以描述函數自變數接近某一個值的時候,相對應的函數值變化的趨勢。作為微積分數學分析的其他分支最基本的概念之一,連續導數的概念都是通過極限來定義的。

「函數的極限」這個概念可以更一般地推廣到中,而「序列的極限」則與範疇論中的極限和有向極限的概念密切相關。

極限的一般概念[編輯]

序列的極限[編輯]

對於序列(sequence)a_n = \frac{1}{n}隨著n的增大,a_n從0的右側越來越接近0,於是可以認為0是這個序列的極限(雖然這個結論是正確的,但是它仍需要證明)。

柯西(Cauchy)在19世紀給出了極限的嚴格定義: 設\{ x_n \}, x_n \in \mathrm R,n=1,2,\ldots,x_0 \in \mathrm R,對於任意的正實數\epsilon,存在自然數\mathit{N},使得當\mathit{n>N}時,有|x_n-x_0 | < \epsilon,用符號來表示即 \forall \epsilon >0 ,\exists N \in \mathbb N,\forall n>N,|x_n-x_0 | < \epsilon

則稱數列\{ x_n \}收斂於x_0,記作\lim _{n \to \infty} x_n=x_0

直觀地說,這就說明序列的元素(element)隨著n的增大越來越靠近x_0,因為上面的絕對值也可以用來刻畫距離。當然這並不是說每一項都比前一項更為靠近。而且更一般地說,不是所有的序列都有極限的。如果一個序列是有極限的,我們稱這個數列收斂,否則稱其為發散。可以證明,如果一個序列是收斂的,那麼它有且僅有一個極限。

序列的極限和函數(function)的極限之間的關係是相當密切的。一方面,序列的極限可以直接理解為一個定義在自然數集合上的函數趨於無窮時候的極限。另一方面,一個函數在x處的極限(如果存在),與序列\{x_n \mid x_n = f(x + \frac{1}{n})\}的極限是相同的。

函數的極限[編輯]

假設f(x)是一個實函數,C是一個實數,那麼

 \lim_{x \to c}f(x) = L

表示f(x)可以任意地靠近L,只要我們讓x充分靠近c。此時,我們說當x趨向c時,函數f(x)的極限是L。值得特別指出的是,這個定義在f(c) \ne L的時候同樣是成立的。事實上,即使f(x)c點沒有定義,我們仍然可以定義上述的極限。

以下兩個例子或許對理解這個概念有所幫助:

考慮函數f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}x趨向2的時候的性質,此時f(x)x = 2這點是有定義的,因為f(2) = 0.4

f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2) f(2.001) f(2.01) f(2.1)
0.4121 0.4012 0.4001 \Rightarrow 0.4 \Leftarrow 0.3998 0.3988 0.3882

x趨向2的時候,函數值趨向0.4,因此我們有極限\lim_{x\to 2}f(x)=0.4。在這種情況下,即函數在某一點的取值和當x趨向這一點的極限值相同的時候,我們稱fx = c這一點是連續的。

當然,這是相當特殊的情況,考慮

g(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x^2+1}, & \mbox{if }x\ne 2 \\  \\ 0, & \mbox{if }x=2 \end{matrix}\right.

那麼當x趨於2的時候,g(x)的極限與前面的f(x)相同,都是0.4。但是請注意g(2) \ne 0.4,這就是說,g(x)x = 2是不連續。

或者考慮這樣一個例子,使得f(x)x=c時沒有定義:

 f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}

x=1時,f(x)是沒有定義的,但極限存在,即\lim_{x \to 1} f(x) = 2

f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)
1.95 1.99 1.999 \Rightarrow Undefined \Leftarrow 2.001 2.010 2.10

x \ne 1的情況下,x可以任意靠近1,從而f(x)的極限為2

實變數實值函數在有限處的極限:形式定義[編輯]

形式上講,極限可以這樣定義:

f是一個定義於包含c的開區間(或此開區間剔除c)上的實值函數,命L是一個實數,那麼

 \lim_{x \to c}f(x) = L

表示對於任意的 \varepsilon\ >0,都存在一個對應的 \delta\ >0使得:當x滿足0<|x-c|< \delta\ 時總有| f (x)-L|< \varepsilon\ 成立。

實變數實值函數在無窮遠處的極限[編輯]

與函數趨於某個給定值時的極限概念相關的是函數在無窮遠處的概念。這個概念不能從字面上直接理解為:x距離無窮遠越來越小的狀態,因為無窮不是一個給定的數,也不能比較距離無窮的遠近。因此,我們用x越來越大(如果討論正無窮時)來替代。

例如考慮f(x) = \frac{2x}{x + 1}.

  • f(100) = 1.9802
  • f(1000) = 1.9980
  • f(10000) = 1.9998

x非常大的時候,f(x)的值會趨於2。事實上,f(x)2之間的距離可以變得任意小,只要我們選取一個足夠大的x就可以了。此時,我們稱f(x)趨向於(正)無窮時的極限是2。可以寫為

 \lim_{x \to \infty} f(x) = 2

形式上,我們可以這樣定義:

 \lim_{x \to \infty} f(x)=c

類似地,我們也可以定義:

\lim_{x \to -\infty} f(x)=c

如果考慮將f定義域推廣到擴展的實數軸,那麼函數在無窮遠的極限也可以看作在給定點的極限的特例。

常用性質[編輯]

  • \lim_{n \to c} S \sdot f(n) = S \sdot \lim_{n \to c} f(n),這裡S是個點積演算法。
  • \lim_{n \to c} b{f(n)} = b{\lim_{n \to c} f(n)},這裡b是常量。

以下規則只有當等號右邊的極限存在並且不為無窮時才成立

  • \lim_{n \to c} ( f(n) + g(n) ) = \lim_{n \to c} f(n) + \lim_{n \to c} g(n)
  • \lim_{n \to c} ( f(n) - g(n) ) = \lim_{n \to c} f(n) - \lim_{n \to c} g(n)
  • \lim_{n \to c} ( f(n) \sdot g(n) ) = \lim_{n \to c} f(n) \sdot \lim_{n \to c} g(n)
  • \lim_{n \to c} \frac{f(n)}{g(n)} = \frac{\lim_{n \to c} f(n)}{\lim_{n \to c} g(n)},如果分母的極限不為0。

拓撲網的極限[編輯]

在引入的概念下,上述的定義可以毫無障礙地推廣到任何拓撲空間。事實上,現代數學中的極限概念就是定義在拓撲空間上的,上述的例子都是拓撲空間的具體化。

範疇論中的極限[編輯]

符號史[編輯]

極限的符號為lim,它出自拉丁文limis(極限)的前三個字母。

在1786年出版的德國人瀏伊連(S. L'Huilier)的書中,第一次使用這個符號。不過,「x趨於a」當時都記作「x=a」,直到20世紀人們才逐漸用「→」替代「=」。

英國近代數學家哈代是第一個使用現代極限符號的人。