柯尼斯堡七橋問題

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歐拉時代的柯尼斯堡地圖,顯示了當時七座橋的實際位置。河流和橋樑使用特別的顏色標記出來。

柯尼斯堡七橋問題圖論中的著名問題。這個問題是基於一個現實生活中的事例:當時東普魯士柯尼斯堡(今日俄羅斯加里寧格勒)市區跨普列戈利亞河兩岸,河中心有兩個小島。小島與河的兩岸有七條橋連接。在所有橋都只能走一遍的前提下,如何才能把這個地方所有的橋都走遍?

解決方式[編輯]

萊昂哈德·歐拉在1735年提出,並沒有方法能圓滿解決這個問題,他更在第二年發表在論文《柯尼斯堡的七橋》中,證明符合條件的走法並不存在,也順帶提出和解決了一筆畫問題[1]。這篇論文在聖彼得堡科學院發表,成為圖論史上第一篇重要文獻。歐拉把實際的抽象問題簡化為平面上的點與線組合,每一座橋視為一條線,橋所連接的地區視為點。這樣若從某點出發後最後再回到這點,則這一點的線數必須是偶數,這樣的點稱為偶頂點。相對的,連有奇數條線的點稱為奇頂點。歐拉論述了,由於柯尼斯堡七橋問題中存在4個奇頂點,它無法實現符合題意的遍歷。

Konigsberg bridges.png7 bridges.svgKönigsberg graph.svg

歐拉把問題的實質歸於一筆畫問題,即判斷一個圖是否能夠遍歷完所有的邊而沒有重複,而柯尼斯堡七橋問題則是一筆畫問題的一個具體情境。歐拉最後給出任意一種河──橋圖能否全部走一次的判定法則,從而解決了「一筆畫問題」。對於一個給定的連通圖,如果存在兩個以上(不包括兩個)奇頂點,那麼滿足要求的路線便不存在了,且有n個奇頂點的圖至少需要n/2筆畫出。如果只有兩個奇頂點,則可從其中任何一地出發完成一筆畫。若所有點均為偶頂點,則從任何一點出發,所求的路線都能實現,他還說明了怎樣快速找到所要求的路線。[1]

不少數學家都嘗試去解析這類事例。而這些解析,最後發展成為了數學中的圖論

資料來源[編輯]

  1. ^ 1.0 1.1 Janet Heine Barnett, Early Writings on Graph Theory: Euler Circuits and The KÄonigsberg Bridge Problem