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孟氏定理

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情況1:直線LMN穿過三角形ABC
情況2:直線LMN在三角形ABC外面

孟氏定理Menelaus' theorem)是由古希臘數學家梅涅勞斯首先證明的。它指出:如果一直線與\triangle ABC的邊BCCAAB分別交於LMN,則有:

\frac{AN}{NB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CM}{MA}=1

它的逆定理也成立:若有三點LMN分別在\triangle ABC的邊BCCAAB或其延長線上(有一點或三點在延長線上),且滿足

\frac{AN}{NB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CM}{MA}=1

LMN三點共線。利用這個逆定理,可以判斷三點共線

證明[編輯]

如圖,設\angle ANM = \alpha\angle AMN = \beta\angle MLC = \gamma,則在\triangle AMN中由正弦定理,有

\frac{AN}{AM} = \frac{\sin \beta}{\sin \alpha},

同理,因對頂角相等在\triangle NBL\triangle CLM中有

\frac{BL}{BN} = \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma},

\frac{CM}{CL} = \frac{\sin \gamma}{\sin \beta}.

三式相乘,得

\frac{AN}{AM} \cdot \frac{BL}{BN} \cdot \frac{CM}{CL} = \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} \cdot \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} \cdot \frac{\sin \gamma}{\sin \beta} = 1,

\frac{AN}{NB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CM}{MA}=1.

參見[編輯]

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