梯形

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梯形
梯形
Trapezoid.svg
梯形
類型 四邊形
4
頂點 4
面積 \tfrac{a + b}{2} h
對偶 平行四邊形
特性

梯形有且僅有一組對邊平行凸四邊形。梯形平行的兩條邊為「底邊」,分別稱為「上底」和「下底」,其間的距離為「高」,不平行的兩條邊為「腰」。下底與腰的夾角為「底角」,上底與腰的夾角為「頂角」。
嚴格來說,梯形的上下底按照位置而非長短來區分,但也有將較短的底稱作上底,而較長者為下底的說法。[來源請求]

注意:廣義中,平行四邊形是梯形,因為它有一對邊平行[來源請求]。狹義中,平行四邊形並不是梯形,因為它有二對邊平行

中位線[編輯]

由梯形兩腰的中點連成的線段稱為梯形的中位線。梯形的中位線與上底和下底都平行,長度為上底與下底的長度之和的一半。

[編輯]

a、b為梯形的底邊,a不等於b。c、d為梯形的兩腰。

則梯形的高:

h=\frac{\sqrt{-(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)(a-b-c-d)}}{2|a-b|}


面積[編輯]

梯形的面積S滿足:

S=\frac{1}{2}h(a + b)=\frac{(a+b)\sqrt{-(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)(a-b-c-d)}}{4|a-b|}

其中,h是梯形的高,ab分別為其上底和下底。事實上,由於中位線m=\frac{a + b}{2}因此梯形面積S亦滿足:

S=mh

其中m為中位線的長度。

以上兩個公式均適用於任何梯形。

邊角關係[編輯]

  • 上下底邊平行,因此上下鄰角互為補角,度數和為180度。
  • 對角線分割另一條對角線的比相同

等腰梯形[編輯]

兩腰長度相等的梯形稱為等腰梯形。它具有如下性質:

  1. 兩條對角線相等。
  2. 同一底上的二內角相等。
  3. 對角互補,四頂點共圓

依據以上性質,判定一個四邊形是等腰梯形可以通過以下命題:

  1. 兩腰相等的梯形是等腰梯形。
  2. 兩條對角線相等的梯形是等腰梯形。
  3. 同一底上的二內角相等的梯形是等腰梯形。

直角梯形[編輯]

一個底角為90°的梯形是直角梯形。由於梯形的二底邊平行,因此根據同旁內角關係,直角梯形一腰上的兩個底角都是90°。

注意,矩形並非直角梯形,因為它雖然有一個角為90°,但不滿足梯形的判定。