橢圓

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橢圓和它的某些數學性質。

數學中,橢圓是平面上到兩個固定點的距離之和是常數的軌跡。這兩個固定點叫做焦點

根據該定義,可以用手繪橢圓:先準備一條線,將這條線的兩端各綁在固定的點上(這兩個點就當作是橢圓的兩個焦點);取一支筆,用筆尖將線繃緊,這時候兩個點和筆就形成了一個三角形(的兩邊);然後左右移動筆尖拉著線開始作圖,持續地使線繃緊,最後就可以完成一個橢圓的圖形了。

  • 由於兩個固定點之間的距離也是一定的,所以可以省去綁在點上這一步驟而改將線綁成環狀,然後以筆尖和這兩個焦點將線繃直即可。下同。

概述[編輯]

一個平面切截一個圓錐面得到的橢圓。

橢圓是一種圓錐曲線:如果一個平面切截一個圓錐面,且不與它的底面相交,也不與它的底面平行,則圓錐和平面交截線是個橢圓。

在代數上說,橢圓是在笛卡爾平面上如下形式的方程所定義的曲線

A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0 \,

使得 B^2 < 4AC \,,這裡的係數都是實數,並存在定義在橢圓上的點對 (x, y) 的多於一個的解。

穿過兩焦點並終止於橢圓上的線段 AB 叫做長軸。長軸是通過連接橢圓上的兩個點所能獲得的最長線段。穿過中心(兩焦點的連線的中點)垂直於長軸並且終止於橢圓的線段 CD 叫做短軸半長軸(圖中指示為 a)是長軸的一半:從中心通過一個焦點到橢圓的邊緣的線段。類似的,半短軸(圖中指示為 b)是短軸的一半。

如果兩個焦點重合,則這個橢圓是;換句話說,圓是離心率為零的橢圓。

中心位於原點的橢圓  A x^2 + B xy + C y^2 = 1 \, 可以被看作單位圓在關聯於對稱矩陣 A^\prime =\begin{bmatrix}A & B/2\\B/2 & C\end{bmatrix} = PDP^T \,線性映射下的圖像,這裡的 D 是帶有 A^\prime特徵值對角矩陣,二者沿著主對角線都是正實數的,而 P 是擁有 A^\prime特徵向量作為縱列的實數的酉矩陣。橢圓的長短軸分別沿著 A^\prime 的兩個特徵向量的方向,而兩個與之對應的特徵值分別是半長軸半短軸的長度的平方的倒數。

橢圓可以通過對一個圓的所有點的 x 坐標乘以一個常數而不改變 y 坐標來生成。

離心率[編輯]

橢圓的形狀可以用叫做橢圓的離心率的一個數來表達,習慣上指示為 \varepsilon \,。離心率是小於 1 大於等於 0 的正數。離心率 0 表示著兩個焦點重合而這個橢圓是

對於有半長軸 a 和半短軸 b 的橢圓,離心率是

\varepsilon = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}.

離心率越大,ab比率就越大,因此橢圓被更加拉長。

半焦距c 等於從中心到任一焦點的距離,則

\varepsilon = \frac{c}{a}.

距離 c 叫做橢圓的線性離心率。在兩個焦點間的距離是 2aε。

方程[編輯]

在正規位置上的橢圓的參數方程。參數 t 是藍線對於 X-軸的角度。

中心位於點 (h,k) 的主軸平行於 x 軸的橢圓由如下方程指定

\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} = 1 .

這個橢圓可以參數化表達為

x = h+a\,\cos t,\,\!
y = k+b\,\sin t\,\!

這裡的 t 可以限制於區間 -\pi\leq t \leq \pi\,\!

如果 h=0k=0(就是說,如果中心是原點(0,0)),則

橢圓方程 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) \frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)
圖像
範圍 -a\le x\le a,  -b\le y\le b -a\le y\le a,  -b\le x\le b

相對於中心的極坐標形式[編輯]

用極坐標可表達為

r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}=\frac{b}{\sqrt{1-\varepsilon^2 \cos^2 \theta}}

這裡的 \varepsilon 是橢圓的離心率。

相對於焦點的極坐標形式[編輯]

橢圓的極坐標,原點在 F1

有一個焦點在原點的橢圓的極坐標方程是

r = \frac{ a\cdot(1-\varepsilon^{2})}{1 - \varepsilon\cdot\cos\theta} .

半正焦弦和極坐標[編輯]

橢圓的半正焦弦,通常指示為 l\,\!),是從橢圓的一個焦點到橢圓自身,沿著垂直主軸的直線測量的距離。它有關於 a\,\!b\,\!(橢圓的半軸),通過公式 al=b^2\,\! 或者如果使用離心率的話 l=a\cdot(1-\varepsilon^2)\,\!

橢圓,使用半正焦弦展示

極坐標中,一個焦點在原點而另一個焦點在負 x 軸上的橢圓給出自方程

r\cdot(1 + \varepsilon\cdot \cos \theta) = l \,\!

橢圓可以被看作是圓的投影:在與水平面有角度 φ 的平面上的圓垂直投影到水平面上給出離心率 sin φ 的橢圓,假定 φ 不是 90°。

橢圓(用紅色繪制)可以表達為內旋輪線在 R=2r 時的特殊情況。

面積和周長[編輯]

橢圓所包圍的面積是 \pi ab \,,這裡的  a \,,和 b \,, 是半長軸和半短軸。在圓的情況下 a=b \,,表達式簡化為 \pi a^2 \,。 橢圓的周長是 4 a E(\frac{c}{a}),這裡的函數 E \,是第二類完全橢圓積分

周長為:C= 4a\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt {1-(\frac{c}{a})^2 \sin^2\theta}\ {\rm{d}}\theta\!或者 C= 4a\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1-(\frac{c}{a})^2 t^2}}{\sqrt{1-t^2}}\ {\rm{d}}t.\!

精確的無窮級數為:

C = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2 (\frac{c}{a})^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{c^4\over {3a^4}} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{c^6\over{5a^6}} - \dots}\right]\!\,

或:

C = -2\pi a \sum_{n=0}^\infty {\left\lbrace  \left[\prod_{m=1}^n \left({ 2m-1 \over 2m}\right)\right]^2 {c^{2n}\over {{a^{2n}} \left(2n - 1 \right)}}\right\rbrace}

拉馬努金給出一個更為接近的式子:

C \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,

它還可以寫為:

C \approx 3a\pi \left[1+\sqrt{1-\left(\frac{c}{a}\right )^2}\right] - a\pi \sqrt{\left[3+ \sqrt{1-(\frac{c}{a})^2}\right]\left[1+3 \sqrt{1-(\frac{c}{a})^2}\right]} \!\,

還有一條近似很高的公式:

C \approx \pi (a+b)\left[1+\frac{3(\frac{a-b}{a+b})^2}{10+\sqrt{4-3(\frac{a-b}{a+b})^2}}\right]\left[1+(\frac{22}{7\pi} -1)( \frac{a-b}{a} )^{33}\sqrt[1000]{(\frac{a-b}{a})^{697}}\right ]\!\,

標準方程的推導[編輯]

  • 如果在一個平面內一個動點到兩個定點距離等於定長,那麼這個動點的軌跡叫做橢圓。

假設(注意所有假設只是為了導出橢圓方程時比較簡便)動點為P(x,y) \,,兩個定點為F_1(-c,0) \,F_2(c,0) \,,則根據定義,動點P的軌跡方程滿足(定義式):

|PF_1|+|PF_2|=2a (a>0) \,,其中2a \,為定長。

用兩點的距離公式可得:|PF_1|=\sqrt{(x+c)^2+y^2} \,|PF_2|=\sqrt{(x-c)^2+y^2} \,,代入定義式中,得:

\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2} \,

整理上式,並化簡,得:

(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2) \,

a>c \,時,並設a^2-c^2=b^2 \,,則①式可以進一步化簡:

b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 \,

因為a^2b^2>0 \,,將②式兩邊同除以a^2b^2 \,,可得:

x^2/a^2+y^2/b^2=1 \,

則該方程即動點P的軌跡方程,即橢圓的方程。這個形式也是橢圓的標準方程

  • 橢圓的圖像如果在直角坐標系中表示,那麼上述定義中兩個定點被定義在了x軸。若將兩個定點改在y軸,可以用相同方法求出另一個橢圓的標準方程
\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0) \,
  • 在方程中,所設的2a \,稱為長軸長,2b \,稱為短軸長,而所設的定點稱為焦點,那麼2c \,稱為焦距。在假設的過程中,假設了a>c \,,如果不這樣假設,會發現得不到橢圓。當a=c \,時,這個動點的軌跡是一個線段;當a<c \,時,根本得不到實際存在的軌跡,而這時,其軌跡稱為虛橢圓。另外還要注意,在假設中,還有一處:a^2-c^2=b^2 \,
  • 通常認為是橢圓的一種特殊情況。

橢圓的旋轉和平移[編輯]

對於平面上任意橢圓  A x^2 + 2B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0 \,,我們總可以將之轉化為

A(x-u)^2 + 2B(x-u)(y-v) + C(y-v)^2 + f = 0 \,

的形式。具體步驟為,將後式的各乘積乘方項展開,根據與前式對應項係數相等的法則便可求得u,v,f的值。其中,(u,v) \,便是該橢圓的中心(f=0)。

若將

x=x^\prime - u
y=y^\prime - v

帶入式中便可得到平移前的橢圓。

B\ne 0,則表示橢圓的長短軸與坐標系的坐標軸並不平行或垂直,即發生了旋轉。設旋轉的角度為\displaystyle \varphi,則有

\displaystyle  tan(2 \varphi)=2B/(A-C)A-C=0,則說明\varphi=\pm \frac{\pi}{4}

若將

x=x^\prime \cos \varphi - y^\prime \sin \varphi
y=y^\prime \cos \varphi + x^\prime \sin \varphi

帶入式中便可得到旋轉前的橢圓。

漸開線及其導數[編輯]


\begin{cases}
  x=a\cos t+\cfrac{abE\left(t,\cfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right)\sin t}{\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}}\!\, \\
  \\
  y=b\sin t+\cfrac{b^2E\left(t,\cfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right)\cos t}{\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}}\!\, \\
\end{cases}



\begin{cases}
\cfrac{{\rm{d}}x}{\rm{d}t}=\cfrac{\left[b^2\sin 2t-2b^2\sin t\cdot E\left(t,\cfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right)\right]\left(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t\right)-ab\left(a^2-b^2\right)\sin 2t\cdot E\left(t,\cfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right)\sin t}{2\left(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t\right)\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}}-a\sin t\!\, \\
\\

\cfrac{{\rm{d}}y}{\rm{d}t}=\cfrac{\left[b^3\sin 2t-2ab^2\sin t\cdot E\left(t,\cfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right)\right]\left(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t\right)-ab^2\left(a^2-b^2\right)\sin 2t\cdot E\left(t,\cfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right)\sin t}{2a\left(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t\right)\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}}+b\cos t\!\, \\
\end{cases}

有了橢圓漸開線的導數我們可以計算它的長度,其中E\left(t,\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right)\,是第二類完全橢圓積分

參見[編輯]

外部連結[編輯]