歐拉公式

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歐拉公式英語Euler's formula,又稱尤拉公式)是在複分析領域的公式,將三角函數與複數指數函數相關聯,因其提出者萊昂哈德·歐拉而得名。歐拉公式提出,對任意實數 x,都存在

e^{ix} = \cos x + i\sin x

其中 e自然對數的底數i虛數單位,而 \cos\sin 則是餘弦、正弦對應的三角函數,參數 x 則以弧度為單位。這一複數指數函數有時還寫作 \operatorname{cis}(x)英語cosine plus i sine,餘弦加 i 正弦)。由於該公式在 x複數時仍然成立,所以也有人將這一更通用的版本稱為歐拉公式。

形式[編輯]

Euler's formula.svg
對於任意實數x\,,存在:
e^{ix} = \cos x+i\sin x

也可以推導出 sin x =[e^{ix}-e^{-ix}]/(2i); cos x =[e^{ix}+e^{-ix}]/2.

x=\pi\,時,歐拉公式的特殊形式為 e^{i \pi} + 1 = 0\,。(參見歐拉恆等式
對於一個擁有 F\,個面、 V \,個頂角和 E\,條棱(邊)的單連通多面體,必存在
 F+V-E=2 \,(參見歐拉示性數

cis函數[編輯]

在複分析領域,歐拉公式亦可以以函數的形式表示

\operatorname{cis} \theta = \cos \theta+i\sin \theta
\operatorname{cis} \theta = e^{i\theta}

並且一般定義域\theta \in \mathbb{R}\,,值域為\theta \in \mathbb{C}\,(複數平面上的所有單位向量)。

當一複數的模為1,其反函數就是輻角arg函數)。

\theta值為複數時,cis函數仍然是有效的,所以有些人可利用cis函數將歐拉公式推廣到更複雜的版本。[1]

證明[編輯]

方法一:泰勒級數
把函數 e^x \, \cos x\,  \sin x\,寫成泰勒級數形式:
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots
x=iz\,代入 e^x \,可得:

\begin{align}
e^{iz} & = 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots \\
 & = 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\
& = \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\
& = \cos z + i\sin z
\end{align}
方法二:求導法

定義函數f(x)=\frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}}

由於e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^0=1

可知e^{ix}\,不可能為0,因此以上定義成立。

f(x)\,之導數為:


\begin{align}
 f'(x)& = \frac{(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix} - (\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
      & = \frac{-\sin x\cdot e^{ix}-i^2\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
      & = \frac{-\sin x\cdot e^{ix}+\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
      & = 0
\end{align}

因此f(x)\,必是常數函數


\begin{align}
f(x)& =f(0) \\
    & =\frac{\cos x + i \sin x}{e^{ix}}\\
    &=\frac{\cos 0 + i \sin 0}{e^0}\\
    &=1\\
\end{align}

重新整理,即可得到:

e^{ix} = \cos x + i\sin x
方法三:微積分

找出一個函數,使得\frac{dy}{dx}=iyf(0)=1

\frac{d}{dx}e^{ix}=ie^{ix}=iy
\begin{align}\frac{d}{dx}\cos x+i \sin x &= -\sin x + i \cos x \\ & =i (i \sin x +  \cos x) \\ &=iy\end{align}
e^{i0}=e^{0}=1
i\sin 0+\cos0=i0+1=1

如果使用積分法,iy的原函數是以上兩個函數。

x=1時,原函數的值相等,所以以上兩個函數相等。

e^{ix} = \cos x + i\sin x

在複分析的應用[編輯]

這公式可以說明當x為實數時,函數e^{ix}可在複數平面描述一單位圓。且x為此平面上一條連至原點的線與正實數軸的交角。 先前一個在複數平面的複點只能用笛卡爾坐標系描述,歐拉公式在此提供複點至極坐標的變換

任何複數z=x+yi皆可記為

 z = x + iy = |z| (\cos \phi + i\sin \phi ) = |z| e^{i \phi} \,
 \bar{z} = x - iy = |z| (\cos \phi - i\sin \phi ) = |z| e^{-i \phi} \,

在此

 x = \mathrm{Re}\{z\} \,為實部
 y = \mathrm{Im}\{z\} \,為虛部
|z| = \sqrt{x^2+y^2}z
\phi = \mathrm{atan2}{(y,x)},其中\mathrm{atan2}{(y,x)}= \begin{cases}
\arctan\left(\frac y x\right) & \qquad x > 0 \\
\pi + \arctan\left(\frac y x\right) & \qquad y \ge 0 , x < 0 \\
-\pi + \arctan\left(\frac y x\right) & \qquad y < 0 , x < 0 \\
\frac{\pi}{2} & \qquad y > 0 , x = 0 \\
-\frac{\pi}{2} & \qquad y < 0 , x = 0 \\
\text{undefined} & \qquad y = 0, x = 0
\end{cases}

參見[編輯]

參考資料[編輯]

  1. ^ Moskowitz, Martin A. A Course in Complex Analysis in One Variable. World Scientific Publishing Co. 2002: 7. ISBN 981-02-4780-X.