歐拉角

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萊昂哈德·歐拉

萊昂哈德·歐拉歐拉角來描述剛體三維歐幾里得空間取向。對於任何參考系,一個剛體的取向,是依照順序,從這參考系,做三個歐拉角的旋轉而設定的。所以,剛體的取向可以用三個基本旋轉矩陣來決定。換句話說,任何關於剛體旋轉的旋轉矩陣是由三個基本旋轉矩陣複合而成的。

靜態的定義[編輯]

三個歐拉角: (\alpha,\ \beta,\ \gamma) 。藍色的軸是 xyz-軸,紅色的軸是 XYZ-坐標軸。綠色的線是交點線 (N) 。

對於在三維空間裏的一個參考系,任何坐標系的取向,都可以用三個歐拉角來表現。參考系又稱為實驗室參考系,是靜止不動的。而坐標系則固定於剛體,隨著剛體的旋轉而旋轉。

參閲右圖。設定 xyz-軸為參考系的參考軸。稱 xy-平面與 XY-平面的相交為交點線,用英文字母(N)代表。 zxz 順規的歐拉角可以靜態地這樣定義:

  • \alpha 是 x-軸與交點線的夾角,
  • \beta 是 z-軸與Z-軸的夾角,
  • \gamma 是交點線與X-軸的夾角。

很可惜地,對於夾角的順序和標記,夾角的兩個軸的指定,並沒有任何常規。科學家對此從未達成共識。每當用到歐拉角時,我們必須明確的表示出夾角的順序,指定其參考軸。

實際上,有許多方法可以設定兩個坐標系的相對取向。歐拉角方法只是其中的一種。此外,不同的作者會用不同組合的歐拉角來描述,或用不同的名字表示同樣的歐拉角。因此,使用歐拉角前,必須先做好明確的定義。

角值範圍[編輯]

  • \alpha,\ \gamma 值從 0 至 2\pi 弧度
  • \beta 值從 0 至 \pi 弧度。

對應於每一個取向,設定的一組歐拉角都是獨特唯一的;除了某些例外:

  • 兩組歐拉角的 \alpha ,一個是 0 ,一個是 2\pi ,而 \beta\gamma 分別相等,則此兩組歐拉角都描述同樣的取向。
  • 兩組歐拉角的 \gamma ,一個是 0 ,一個是 2\pi ,而 \alpha\beta 分別相等,則此兩組歐拉角都描述同樣的取向。

旋轉矩陣[編輯]

前面提到,設定剛體取向的旋轉矩陣 [\mathbf{R}] 是由三個基本旋轉矩陣合成的:

[\mathbf{R}] = \begin{bmatrix}
\cos \gamma & \sin \gamma & 0 \\
-\sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \beta & \sin \beta \\
0 & -\sin \beta & \cos \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
\cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\
-\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

從左到右依次代表繞著z軸的旋轉、繞著交點線的旋轉、繞著Z軸的旋轉。

經過一番運算,

[\mathbf{R}] = \begin{bmatrix}
\cos\alpha\cos\gamma-\cos\beta\sin\alpha\sin\gamma & \sin\alpha\cos\gamma+\cos\beta\cos\alpha\sin\gamma   & \sin\beta\sin\gamma
\\-\cos\alpha\sin\gamma-\cos\beta\sin\alpha\cos\gamma & -\sin\alpha\sin\gamma+\cos\beta\cos\alpha\cos\gamma & \sin\beta\cos\gamma 
\\ \sin\beta\sin\alpha & -\sin\beta\cos\alpha & \cos\beta 
\end{bmatrix}

[\mathbf{R}]逆矩陣是:

[\mathbf{R}]^{-1}= \begin{bmatrix}
\cos\alpha\cos\gamma-\cos\beta\sin\alpha\sin\gamma & -\cos\alpha\sin\gamma-\cos\beta\sin\alpha\cos\gamma   &   \sin\beta\sin\alpha
\\ \sin\alpha\cos\gamma+\cos\beta\cos\alpha\sin\gamma & -\sin\alpha\sin\gamma+\cos\beta\cos\alpha\cos\gamma & -\sin\beta\cos\alpha
\\ \sin\beta\sin\gamma & \sin\beta\cos\gamma  & \cos\beta 
\end{bmatrix}

別種順序[編輯]

經典力學裏,時常用 zxz 順規來設定歐拉角;照著第二個轉動軸的軸名,簡稱為 x 順規。另外,還有別種歐拉角組。合法的歐拉角組中,唯一的限制是,任何兩個連續的旋轉,必須繞著不同的轉動軸旋轉。因此,一共有 12 種順規。例如,y 順規,第二個轉動軸是 y-軸,時常用在量子力學核子物理學粒子物理學。另外,還有一種順規,xyz 順規,是用在航空太空工程學;參閱Tait-Bryan angles

動態的定義[編輯]

我們也可以給予歐拉角兩種不同的動態定義。一種是繞著固定於剛體的坐標軸的三個旋轉的複合;另外一種是繞著實驗室參考軸的三個旋轉的複合。用動態的定義,我們能更了解,歐拉角在物理上的含義與應用。特別注意,以下的描述, XYZ 坐標軸是旋轉的剛體坐標軸;而 xyz 坐標軸是靜止不動的實驗室參考軸。

  • A) 繞著 XYZ 坐標軸旋轉:最初,兩個坐標系統 xyz 與 XYZ 的坐標軸都是重疊著的。開始先繞著 Z-軸旋轉 \alpha\, 角值。然後,繞著 X-軸旋轉 \beta\, 角值。最後,繞著 Z-軸作角值 \gamma\, 的旋轉。
  • B) 繞著 xyz 坐標軸旋轉:最初,兩個坐標系統 xyz 與 XYZ 的坐標軸都是重疊著的。開始先繞著 z-軸旋轉 \gamma\, 角值。然後,繞著 x-軸旋轉 \beta\, 角值。最後,繞著 z-軸作角值 \alpha\, 的旋轉。

參閱歐拉角圖,定義 A 與靜態定義的相等,這可以直接用幾何製圖方法來核對。

定義 A 與定義 B 的相等可以用旋轉矩陣來證明:

思考任何一點 P_1\, ,在 xyz 與 XYZ 坐標系統的坐標分別為 \mathbf{r}_1\,\mathbf{R}_1\, 。定義角算符 Z(\alpha)\, 為繞著 Z-軸旋轉 \alpha\, 角值。那麼,定義 A 可以表述如下:

\mathbf{R}_1=Z(\gamma)\circ X(\beta)\circ Z(\alpha)\circ \mathbf{r}_1\,

用旋轉矩陣表示,

Z(\alpha)= \begin{bmatrix}\cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\
-\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\,
X(\beta)=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \beta & \sin \beta \\0 & -\sin \beta & \cos \beta \end{bmatrix} \,
Z(\gamma)=\begin{bmatrix}\cos \gamma & \sin \gamma & 0 \\
-\sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\,

思考任何一點 P_2\, ,在 xyz 與 XYZ 坐標系統的坐標分別為 \mathbf{r}_2\,\mathbf{R}_2\, 。定義角算符 z(\alpha)\, 為繞著 z-軸旋轉 \alpha\, 角值。則定義 B 可以表述如下:

\mathbf{r}_2=z(\alpha)\circ x(\beta)\circ z(\gamma)\circ \mathbf{R}_2\,

用旋轉矩陣表示,

z(\alpha)= \begin{bmatrix}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\
\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\,
x(\beta)=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \beta & -\sin \beta \\0 & \sin \beta & \cos \beta \end{bmatrix} \,
z(\gamma)=\begin{bmatrix}\cos \gamma & -\sin \gamma & 0 \\
\sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\,

假設, \mathbf{r}_1=\mathbf{r}_2\, .那麼,

\mathbf{r}_1=z(\alpha)\circ x(\beta)\circ z(\gamma)\circ \mathbf{R}_2\,

乘以逆算符,

z^{-1}(\gamma)\circ x^{-1}(\beta)\circ z^{-1}(\alpha)\circ \mathbf{r}_1=z^{-1}(\gamma)\circ x^{-1}(\beta)\circ z^{-1}(\alpha)\circ z(\alpha)\circ x(\beta)\circ z(\gamma)\circ \mathbf{R}_2\,

但是,從旋轉矩陣可以觀察出,

z^{-1}(\alpha)=Z(\alpha)\,
x^{-1}(\beta)=X(\beta)\,
z^{-1}(\gamma)=Z(\gamma)\,

所以,

Z(\gamma)\circ X(\beta)\circ Z(\alpha)\circ \mathbf{r}_1=\mathbf{R}_2\,
\mathbf{R}_1=\mathbf{R}_2\,

定義 A 與定義 B 是相等的。

歐拉角性質[編輯]

歐拉角在SO(3)上,形成了一個坐標卡 (chart) ;SO(3)是在三維空間裏的旋轉的特殊正交群。這坐標卡是平滑的,除了一個極坐標式的奇點\beta=0 。

類似的三個角的分解也可以應用到SU(2);複數二維空間裏旋轉的特殊酉群;這裡,\beta 值在 0 與 2\pi 之間。這些角也稱為歐拉角。

應用[編輯]

歐拉角廣泛地被應用於經典力學中的剛體研究,與量子力學中的角動量研究。

在剛體的問題上, xyz 坐標系是全局坐標系, XYZ 坐標系是局部坐標系。全局坐標系是不動的;而局部坐標系牢嵌於剛體內。關於動能的演算,通常用局部坐標系比較簡易;因為,慣性張量不隨時間而改變。如果將慣性張量(有九個分量,其中六個是獨立的)對角線化,那麼,會得到一組主軸,以及一個轉動慣量(只有三個分量)。

量子力學裏, 詳盡的描述SO(3)的形式,對於精準的演算,是非常重要的, 並且幾乎所有研究都採用歐拉角為工具。在早期的量子力學研究,對於抽象群理論方法(稱為Gruppenpest), 物理學家與化學家仍舊持有極尖銳的反對態度的時候;對歐拉角的信賴,在基本理論研究來說,是必要的。

歐拉角的哈爾測度有一個簡單的形式 \sin\beta\ d\alpha d\beta d\gamma 通常在前面添上歸一化因子 1/8\pi^2 。例如,我們要生成均勻隨機取向,使 \alpha, \ \gamma02\pi 均勻的選隨機值;使 \beta=\arccos(z)z-11 均勻的選隨機值。

單位四元數,又稱歐拉參數,提供另外一種方法來表述三維旋轉。這與特殊酉群的描述是等價的。四元數方法用在大多數的演算會比較快捷,概念上比較容易理解,並能避免一些技術上的問題,如萬向鎖現象。因為這些原因,許多高速度三維圖形程式製作都使用四元數。

參閱[編輯]

參考文獻[編輯]

  • L. C. Biedenharn, J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, MA, 1981.
  • Herbert Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley, Reading, MA, 1980.
  • Andrew Gray, A Treatise on Gyrostatics and Rotational Motion, MacMillan, London, 1918.
  • M. E. Rose, Elementary Theory of Angular Momentum, John Wiley, New York, NY, 1957.
  • Symon, Keith. Mechanics. Addison-Wesley, Reading, MA. 1971. ISBN 0-201-07392-7. 
  • Landau, L.D.; Lifshitz, E.M.. Mechanics. Butterworth-Heinemann. 1997. ISBN 0-750-62896-0. 

外部鏈結[編輯]