正弦

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正弦
Sin.svg
性質
奇偶性
定義域 (-∞,∞)
到達域 [-1,1]
周期
特定值
當x=0 0
當x=+∞ N/A
當x=-∞ N/A
最大值 ((2k+½)π,1)
最小值 ((2k-½)π,-1)
其他性質
漸近線 N/A
臨界點 kπ-π/2
拐點
不動點 0
k是一個整數

正弦三角函數的一種。它的定義域是整個實數集值域是[-1,1]。它是周期函數,其最小正周期為2π。在自變數為(4n+1)π/2〔n為整數〕時,該函數有極大值1;在自變數為(4n+3)π/2時,該函數有極小值-1。正弦函數是奇函數,其圖像關於原點對稱。

符號史[編輯]

正弦的符號為sin,取自拉丁文sinus。該符號最早由瑞士數學家歐拉所使用。

定義[編輯]

直角三角形中[編輯]

直角三角形中,一個銳角的正弦定義為它的對邊與斜邊的比值,也就是:

 \sin \theta = \frac {\mathrm{Opposite}}{\mathrm{Hypotenuse}}

直角坐標系中[編輯]

設α是平面直角坐標系xOy中的一個象限角P\left( {x,y} \right)是角的終邊上一點,r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0是P到原點O的距離,則α的正弦定義為:

\sin \alpha = \frac{y}{r}

單位圓定義[編輯]

圖像中給出了用弧度度量的某個公共角。逆時針方向的度量是正角而順時針的度量是負角。設一個過原點的線,同x軸正半部分得到一個角θ,並與單位圓相交。這個交點的y坐標等於sin θ。在這個圖形中的三角形確保了這個公式;半徑等於斜邊並有長度1,所以有了sin θ = y/1。單位圓可以被認為是通過改變鄰邊和對邊的長度並保持斜邊等於1查看無限數目的三角形的一種方式。

對於大於2π或小於−2π的角度,簡單的繼續繞單位圓旋轉。在這種方式下,正弦變成了周期為2π的周期函數

\sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi k \right)

對於任何角度θ和任何整數k

級數定義[編輯]

正弦函數(藍色)被對中心為原點的全圓的它的5次泰勒級數(粉紅色)緊密逼近。
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}

微分方程定義[編輯]

由於正弦的導數是餘弦,餘弦的導數是負的正弦,因此正弦函數滿足初值問題

y''=-y, \, y(0)=0,\,y'(0)=1

這就是正弦的微分方程定義。

指數定義[編輯]

\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \,

由歐拉公式導出

恆等式[編輯]

用其它三角函數來表示正弦[編輯]

函數 sin cos tan csc sec cot
\sin \theta =  \sin \theta\  \sqrt{1 - \cos^2\theta}  \frac{\tan\theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}}  \frac{1}{\csc \theta}  \frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}  \frac{1}{\sqrt{1+\cot^2\theta}}

兩角和差公式[編輯]

\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y
\sin \left(x-y\right)=\sin x \cos y - \cos x \sin y

二倍角公式[編輯]

\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta\,

三倍角公式[編輯]

\sin 3\theta = 3 \sin \theta- 4 \sin^3\theta \,

半形公式[編輯]

\sin \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt\frac{1 - \cos \theta}{2}.\,

和差化積公式[編輯]

\sin \theta + \sin \phi = 2 \sin\left( \frac{\theta + \phi}{2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \phi}{2} \right)
\sin \theta - \sin \phi = 2 \cos\left({\theta + \phi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \phi\over 2}\right) \;

萬能公式[編輯]

\sin \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}

含有正弦的積分[編輯]

\int\sin cx\;dx = -\frac{1}{c}\cos cx\,\!
\int|\sin x|\;dx = -\cos x\,\!
\int\sin^n {cx}\;dx = -\frac{\sin^{n-1} cx\cos cx}{nc} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} cx\;dx \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}\,\!
\int\sin^2 {cx}\;dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{4c} \sin 2cx = \frac{x}{2} - \frac{1}{2c} \sin cx\cos cx \!
\int\sqrt{1 - \sin{x}}\;dx = \int\sqrt{\operatorname{cvs}{x}}\,dx = 2 \frac{\cos{\frac{x}{2}} + \sin{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}} - \sin{\frac{x}{2}}} \sqrt{\operatorname{cvs}{x}} = 2\sqrt{1 + \sin{x}}
\int x\sin cx\;dx = \frac{\sin cx}{c^2}-\frac{x\cos cx}{c}\,\!
\int x^n\sin cx\;dx = -\frac{x^n}{c}\cos cx+\frac{n}{c}\int x^{n-1}\cos cx\;dx \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}\,\!
\int_{\frac{-a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2\sin^2 {\frac{n\pi x}{a}}\;dx = \frac{a^3(n^2\pi^2-6)}{24n^2\pi^2}   \qquad\mbox{(for }n=2,4,6...\mbox{)}\,\!
\int\frac{\sin cx}{x}\;dx = \sum_{i=0}^\infty (-1)^i\frac{(cx)^{2i+1}}{(2i+1)\cdot (2i+1)!}\,\!
\int\frac{\sin cx}{x^n}\;dx = -\frac{\sin cx}{(n-1)x^{n-1}} + \frac{c}{n-1}\int\frac{\cos cx}{x^{n-1}} dx\,\!
\int\frac{dx}{\sin cx} = \frac{1}{c}\ln \left|\tan\frac{cx}{2}\right|
\int\frac{dx}{\sin^n cx} = \frac{\cos cx}{c(1-n) \sin^{n-1} cx}+\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\sin^{n-2}cx} \qquad\mbox{(for }n>1\mbox{)}\,\!
\int\frac{dx}{1\pm\sin cx} = \frac{1}{c}\tan\left(\frac{cx}{2}\mp\frac{\pi}{4}\right)
\int\frac{x\;dx}{1+\sin cx} = \frac{x}{c}\tan\left(\frac{cx}{2} - \frac{\pi}{4}\right)+\frac{2}{c^2}\ln\left|\cos\left(\frac{cx}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right|
\int\frac{x\;dx}{1-\sin cx} = \frac{x}{c}\cot\left(\frac{\pi}{4} - \frac{cx}{2}\right)+\frac{2}{c^2}\ln\left|\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{cx}{2}\right)\right|
\int\frac{\sin cx\;dx}{1\pm\sin cx} = \pm x+\frac{1}{c}\tan\left(\frac{\pi}{4}\mp\frac{cx}{2}\right)
\int\sin c_1x\sin c_2x\;dx = \frac{\sin(c_1-c_2)x}{2(c_1-c_2)}-\frac{\sin(c_1+c_2)x}{2(c_1+c_2)} \qquad\mbox{(for }|c_1|\neq|c_2|\mbox{)}\,\!

特殊值[編輯]

0 \frac{\pi}{12} \frac{\pi}{6} \frac{\pi}{4} \frac{\pi}{3} \frac{5\pi}{12}
sin 0 \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
角度 0^\circ 30^\circ 45^\circ 60^\circ 90^\circ
sin \frac{\sqrt{0}}{2} = 0 \frac{\sqrt{1}}{2} = {1 \over 2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{4}}{2} = 1

正弦定理[編輯]

正弦定理說明對於任意三角形,它的邊是a, bc而相對這些邊的角是A, BC,有:

\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}

也表示為:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

它可以通過把三角形分為兩個直角三角形並使用正弦的上述定義證明。在這個定理中出現的公共數 (sinA)/a是通過A, BC三點的圓的直徑的倒數。正弦定理用於在一個三角形的兩個角和一個邊已知時計算未知邊的長度。這是三角測量中常見情況。

參見[編輯]