立方體

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正六面體
立方體
(按這裡觀看旋轉模型)
類別 正多面體
6
12
頂點 8
歐拉特徵數 F=6, E=12, V=8 (χ=2)
面的種類 正方形
面的佈局英語Face configuration 6{4}
頂點圖英語Vertex figure 4.4.4
施萊夫利符號 {4,3}
對稱群 3
參考索引 U06, C18, W3
對偶 正八面體
二面角 90°
特性 環帶多面體
Cube vertfig.png
4.4.4
(頂點圖)
Hexahedron flat color.svg
(展開圖)

立方體(Cube)',是由6個正方形組成的正多面體,故又稱正六面體(Hexahedron)正方體正立方體。它有12條稜(邊)和8個頂(點),是五個柏拉圖立體之一。

立方體是一種特殊的正四稜柱長方體、三角偏方面體菱形多面體平行六面體,就如同正方形是特殊的矩形菱形平行四邊形一様。立方體具有正八面體對稱性英語Octahedral symmetry,即考克斯特BC3對稱性,施萊夫利符號{4,3},考克斯特-迪肯符號英語Coxeter-Dynkin digramCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png,與正八面體對偶。

性質[編輯]

面的圖形:正方形
面的數目:6
邊的數目:12
頂點數目:8
表面積:6a^2\
體積:a^3\
二面角角度:90^\circ
外接球半徑:\sqrt{\frac{3}{4}}a\approx 0.866 a
內接球半徑:\frac a 2
對偶多面體:正八面體
在所有表面積一定的長方體中,立方體的體積最大,同樣,在所有線性大小(長寬高之和)一定的長方體中,立方體的體積也是最大的。反過來,體積相等的長方體中,立方體擁有最小表面積和線性大小。

正交投影[編輯]

我們可以從不同角度將立方體投影到二維平面上,這些投影都各自攜帶有立方體原本BC3對稱性的一部分。

正交投影
正對於 正方形面 頂點
考克斯特群 B2
2-cube.svg
A2
3-cube t0.svg
投影
對稱性
[4] [6]
傾斜視角 Cube t0 e.png Cube t0 fb.png

頂點坐標及表面方程[編輯]

在三維直角坐標系中,對於以原點為中心的、各棱平行於坐標軸的、棱長為2的立方體,其頂點坐標為
(±1, ±1, ±1)
的全排列。它包含了所有滿足|x|≤1且|y|≤1且|z|≤1的點(x,y,z)。
在R3中,以點(x0,y0,z0)為中心的立方體表面是點(x,y,z)的運動軌跡,其中x,y,z滿足:

 \lim_{n \to \infty} (x - x_0 )^n + (y - y_0 )^n + ( z - z_0 )^n - a^n = 0.

半正對稱性與表面塗色[編輯]

作為正多面體之一,立方體擁有較高的對稱性,它的所有面在幾何上都是相同的,不可區分的。可是我們也可以想像將立方體的面「塗上」不同的「顏色」,使它其的不同面擁有不同的「幾何意義」,使立方體擁有不同的對稱性。在立方體完全的對稱性,即正八面體對稱性Oh中,立方體的所有面都是相同的。二面體對稱性D4h則將立方體描述得像一個正四稜柱,有兩個顏色相同的上下底面,其餘4個側面顏色相同。立方體最低的對稱性D2h也將立方體描述的像一個稜柱,不過是長方形稜柱,即一個長方體,它的相對的面顏色相同,而相鄰的面是不同的。每一種半正對稱性都有自己的施萊夫利符號考克斯特-迪肯符號英語Coxeter-Dynkin digramWythoff符號英語Wythoff symbol。此外,由於其對偶正八面體也可被看作是正三反稜柱,立方體也可被看作是正三反稜柱的對偶,即正三偏方面體

名稱 正六面體 正四稜柱 長方體 正三偏方面體
考克斯特符號英語Coxeter-Dynkin diagram CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node fh.pngCDel 2.pngCDel node fh.pngCDel 6.pngCDel node.png
施萊夫利符號 {4,3} {4}×{} {}×{}×{}
Wythoff符號英語Wythoff symbol 3 | 4 2 4 2 | 2 2 2 2 |
對稱性英語List of spherical symmetry groups Oh
(*432)
D4h
(*422)
D2h
(*222)
D3d
(2*3)
對稱群階 24 16 8 12
圖像
(半正表面塗色)
Hexahedron.png
(111)
Tetragonal prism.png
(112)
Uniform polyhedron 222-t012.png
(123)
Trigonal trapezohedron.png
(111), (112), (122), 及(222)

幾何性質[編輯]

立方體有11種不同的展開圖,即是說,我們可以有11種不同的方法切開空心立方體的7條棱而將其展平為平面圖形,見右圖。

立方體的11種不同展開圖

如果我們要將立方體塗色而使相鄰的面不帶有相同的顏色,則我們至少需要3種顏色(類似於四色問題)。
立方體是唯一能夠獨立密鋪三維歐幾里得空間柏拉圖正多面體,因此立方體堆砌也是四維唯一的正堆砌(三維空間中的堆砌拓撲上等價於四維多胞體)。它又是柏拉圖立體中唯一一個有偶數邊面——正方形面的,因此,它是柏拉圖立體中獨一無二的環帶多面體(它所有相對的面關於立方體中心中心對稱)。
將立方體沿對角線切開,能得到6個全等的正4稜柱(但它不是半正的,底面棱長與側棱長之比為2:√3)將其正方形面貼到原來的立方體上,能得到菱形十二面體(Rhombic Dodecahedron)(兩兩共面三角形合成一個菱形)。

與其他形狀的關係[編輯]

Tetraeder-Animation.gif
  • 將立方體的其中四個頂點相連,而這四個頂點任何兩條都沒有落在立方體同一條的邊上,可得到一個正四面體,其邊長為立方體邊長的\sqrt 2,其體積為立方體體積的\frac{1}{3}


正四面體外接正六面體
Octahedron in Cube.png
Cube in Octahedron.png

當正八面體在立方體之內:
正八面體體積 : 立方體體積
=[(1/3)×高×底面積]×2 : 邊3
=(1/3)(n/2)[(n2)/2]2 : n3
=1 : 6

  • 截半立方體:從一條棱斬去另一條棱的中點得出
  • 截角立方體
  • 超正方體:立方體在高維度的推廣。更加一般的,立方體是一個大家族,即立方形家族(又稱超方形、正測形)的3維成員,它們都具有相似的性質(如二面角都是90°、有類似的超體積公式,即Vn-cube=an等)。
  • 長方體偏方面體的特例。

相關多面體[編輯]

將立方體對映映射英語Antipodal point後的到的商形成的一個實射影多面體,即Hemi-立方體英語Hemicube(hemicube)(不應叫其「半立方體」,因為其易與『demicube』混淆)。

Hemi-立方體是立方體2到1的商


正方體的對偶多面體正八面體,如果原正方體棱長為1,則對偶正八面體棱長為√2。
正方體是一種最特殊的四邊形正六面體:

名稱 棱長相等? 對角相等? 各角為直角?
立方體
菱面體
長方體
平行六面體
四邊形正六面體

立方體的8個頂點可以被交錯地分為兩組,每一組都構成一個完整的正四面體,更嚴格地說,這是作為半(Demi-)立方體英語demihypercube(demicube)的正四面體。這兩個正四面體組合到一起,就構成了一個正的複合多面體——星形正八面體(Stella Octagula)。兩個正四面體重合的地方構成凸的正八面體。這意味著,正四面體的對稱群A3是正方體對稱群的子群,對應著能將半立方體變換到自身的對稱變換,立方體其餘的對稱變換能將兩個半立方體變換到對方。一個這樣的正四面體佔據了立方體體積的1/3,立方體剩餘的部分是4個全等的、頂角是立方體立體角的正三稜錐,各占立方體體積的1/6
從立方體各棱中點處切掉立方體的角,我們會發現原先立方體的正方形面變成了其對偶的正方形面,而切掉的頂點處出現了新的正三角形面,這樣的操作叫「截半」(Rectification),得到的半正多面體截半立方體(Rectified Cube),又叫立方八面體(Cuboctahedron)。如果我們不在棱中點處截它,則這種操作叫「截頂」(Truncation),正方形面變成了八邊形。如果截的合適,則我們可將正方形截成正八邊形,得到的半正多面體叫截頂立方體(Truncated Cube)。如果我們同時截掉立方體的棱和頂,則這種操作叫「截棱」(Centellation),如果截的恰當,得到的半正多面體是小斜方截半立方體(Rhombicuboctahedron)。

正十二面體有20個頂點,它們可以以不同組合分成由8個頂點組成的5組,這8個頂點兩兩相連,構成內接在正十二面體內部的立方體,它的棱都是正十二面體的各面的對角線。這五個立方體組合在一起,構成複合多面體——五複合立方體

正十二面體內部的五複合立方體


如果我們完全切掉立方體相對的兩個頂點,我們會得到一個非正的八面體,將8個這樣的八面體正三角形面對正三角形面貼到正八面體上,則我們得到截半立方體。
立方體與所有其它擁有BC3對稱性的多面體(如正八面體和立方八面體)構成正八面體家族:

半正正八面體家族多面體
對稱性: [4,3], (*432) [4,3]+, (432) [1+,4,3], (*332) [4,3+], (3*2)
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg Uniform polyhedron-43-t12.svg Uniform polyhedron-43-t2.svg Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-43-h01.svg
{4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t1,2{4,3} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} s{4,3} h{4,3} h1,2{4,3}
半正多面體的對偶
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Octahedron.svg Triakisoctahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Hexahedron.svg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Pentagonalicositetrahedronccw.jpg Tetrahedron.svg POV-Ray-Dodecahedron.svg
V4.4.4 V3.8.8 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3 V3.4.4.4 V4.6.8 V3.3.3.3.4 V3.3.3 V3.3.3.3.3

此外,立方體在拓撲上與其它3階正鑲嵌{n,3}相關:

多面體 歐式鑲嵌 雙曲鑲嵌
Spherical trigonal hosohedron.png
{2,3}
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform polyhedron-33-t0.png
{3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform polyhedron-43-t0.png
{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform polyhedron-53-t0.png
{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform polyhedron-63-t0.png
{6,3}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 237-1.png
{7,3}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 238-1.png
{8,3}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
... H2 tiling 23i-1.png
{∞,3}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

立方體在拓撲上還和其它階的正方形正鑲嵌{4,n}(n≥3)有關:

多面體 歐式鑲嵌 雙曲鑲嵌
Digonal dihedron.png
{4,2}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
Uniform polyhedron-43-t0.png
{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 44-t0.png
{4,4}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Uniform tiling 45-t0.png
{4,5}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Uniform tiling 46-t0.png
{4,6}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
Uniform tiling 47-t0.png
{4,7}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
Uniform tiling 48-t0.png
{4,8}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
... H2 tiling 24i-4.png
{4,∞}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png

立方體是正四稜柱:

正多邊形柱體系列
對稱群英語List of spherical symmetry groups 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
[2n,2]
[n,2]
[2n,2+]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node h.png
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node h.png
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node h.png
CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node h.png
CDel node 1.pngCDel 11.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 12.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node h.png
圖像 Triangular prism.png Tetragonal prism.png
Uniform polyhedron 222-t012.png
Cube rotorotational symmetry.png
Pentagonal prism.png Hexagonal prism.png
Truncated triangle prism.png
Cantic snub hexagonal hosohedron.png
Prism 7.png Octagonal prism.png
Truncated square prism.png
Cantic snub octagonal hosohedron.png
Prism 9.png Decagonal prism.png Hendecagonal prism.png Dodecagonal prism.png
球面多面體
圖像 Spherical triangular prism.png Spherical square prism.png
Spherical square prism2.png
Spherical pentagonal prism.png Spherical hexagonal prism.png
Spherical hexagonal prism2.png
Spherical heptagonal prism.png Spherical octagonal prism.png
Spherical octagonal prism2.png
Spherical decagonal prism.png
Spherical decagonal prism2.png

應用[編輯]

Impossible cube.jpg

數學問題[編輯]

由正方體展開圖可得知正方體表面積演算法
正六邊形的切法:沿上底兩條鄰邊的中點,切至下底兩條鄰邊的中點

體積與表面積[編輯]

  • 體積=長×寬×高=邊3
  • 面積=每個面面積×6=邊2×6

倍立方體問題[編輯]

參見尺規作圖,已經證明此題無法用無刻度的直尺與圓規去畫出\sqrt[3]{2}的位置

最大的橫切面[編輯]

立方體的橫切面只有四種:

其中以正六邊形的面積最大,若立方體的棱長為a,則正六邊形的面積為\frac{3\sqrt{3}a^2}{4}

參見[編輯]

外部連結[編輯]