比例

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y 正比於 x。

數學中,若兩個的變化關係符合其中一個量是另一個量乘以一個常數,或等價地表達為兩者具有一個為常數的比率,則稱兩者是成比例的

x:y=u:o,那麼 yu=xo

其中,x:y=u:o 稱為一個等比關係

定義[編輯]

更正式地,若存在一非零常數 k 使

y = k \ \times \  x,

則稱變數 y 與變數 x 成比例(有時也稱為成正比)。當x和y成正比關係,表示當x變為原來k倍時,y也會變為原來的k倍。

y是因變數
x是自變數
k則是變分常數,而k不等於0。如k=0,則不能成立正比關係。也就是說,x、y兩個變數線性函數關係。

該關係通常用 ∝ (統一碼: U+221D) 表示為:

y \propto x

並稱該常數比率

k = y/x

比例常數或比例關係中的比例恆量

在日常生活中,正比這個詞的使用並不嚴格局限於線性函數,一般來說,一個變數隨著另一個變數的增大(縮小)而相應地增大(縮小),近似地滿足線性關係的時候,我們可以說這兩個變數成正比。

例子[編輯]

  • 假設某人以勻運動,則其運動的距離是和運動的時間成正比的,該速度值即是所述的比例常數。
  • 在按比例尺繪製的地圖上,地圖上任意兩點間的距離是和該兩點所代表的實際地點之間的距離成比例的,其比例常數即是繪製該地圖所使用的比例尺係數。

性質[編輯]

因為

y = k\ \times\ x

等價於

x = (1/k)\ \times\ y,

因此可推出,若 yx 具有比例常數為 k 的比例關係,則 x 也與 y 具有比例常數為 1/k 的比例關係。

yx 成比例,則 y 作為 x 的一個函數的函數圖像會是一條穿過原點直線,該直線的斜率等於其比例常數。

比例關係中,位於兩端的兩數之積等於位於中間的兩數之積[編輯]

{a \over b} = {c \over d} \quad\quad ad = bc

比例的其他性質[編輯]

{a \over b} = {c \over d} \quad\quad {b \over a} = {d \over c}

{a \over b} = {c \over d} \quad\quad {a \over c} = {b \over d}

{a \over b} = {c \over d} \quad\quad {a+b \over b} = {c+d \over d}

{a \over b} = {c \over d} \quad\quad {a-b \over b} = {c-d \over d}

若有{a \over b} = {x \over y},且有{c \over d} = {x \over y},則有{a+c \over b+d} = {x \over y}

反比關係[編輯]

在上面定義中,我們說有時稱兩個成比例的變數成正比例,這是為了和反比例關係相對應。

如果兩變數中,一個變數和另外一個變數的倒數成正比,或等價地,若這兩變數的乘積是一個常數,則稱這兩個變數是成反比例(或相反地變化)的。從而可繼續推出,若存在一非零常數 k 使

y = {k \over x},

則變數 y 和變數 x 成反比。

反比例關係的概念基本上說明的是這樣一種關係,即當一個變數的值變大時,另一變數的值相應變小,而兩者之積總是保持為一常數(即比例常數)。

舉例來說,運動中的車輛走完一段路程所花費的時間是和這輛車運動的速度成反比的;在地上挖個坑所花的時間也(大致地)和雇來挖坑的人數成反比的。

在笛卡爾坐標平面上,兩個具有反比例關係的變數的圖形是一對雙曲線。該圖線上的每一點的 X 和 Y 坐標值之積總是等於比例常數 (k)。由於 k 非零,所以圖線不會與坐標軸相交

指數比例和對數比例[編輯]

若變數 y 與變數 x指數函數成正比,即:若存在非零常數 k 使

y = k a^x,

則稱 yx指數比例

類似地,若變數 y 與變數 x對數函數成正比,即:若存在非零常數 k 使

y = k\;\log_a (x),

則稱 yx對數比例

確定比例關係的實驗方法[編輯]

用實驗方法確定兩個物理量是否具有正比關係,可採用這樣的辦法,即進行多次測量並在笛卡爾坐標系中將這些測量結果用多個點來表示,而繪製出這些點的分布圖形;如果所有點完全(或接近)地落在一條穿過原點 (0, 0) 的直線上,則這兩個變數(很有可能)具有比例常數等於該直線斜率的正比關係。

參見[編輯]