泰勒級數

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微積分學
\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
函數 · 導數 · 微分 · 積分
無窮級數
\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{k^s}
無窮級數

在數學中,泰勒級數Taylor series)用無限項連加式——級數來表示一個函數,這些相加的項由函數在某一點的導數求得。泰勒級數是以於1715年發表了泰勒公式英國數學家布魯克·泰勒(Sir Brook Taylor)來命名的。通過函數在自變數零點的導數求得的泰勒級數又叫做邁克勞林級數,以蘇格蘭數學家科林·麥克勞林的名字命名。

拉格朗日在1797年之前,最先提出帶有餘項的現在形式的泰勒定理。實際應用中,泰勒級數需要截斷,只取有限項,可以用泰勒定理估算這種近似的誤差。一個函數的有限項的泰勒級數叫做泰勒多項式。一個函數的泰勒級數是其泰勒多項式的極限(如果存在極限)。即使泰勒級數在每點都收斂,函數與其泰勒級數也可能不相等。開區間(或複平面開片)上,與自身泰勒級數相等的函數稱為解析函數

定義[編輯]

在數學上,一個在實數複數a鄰域上的無窮可微實變函數複變函數ƒ(x)的泰勒級數是如下的冪級數


\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}

這裡,n! 表示n階乘f^{(n)}(a)\,\!表示函數f在點a處的n導數。如果a = 0,那麼這個級數也可以被稱為麥克勞倫級數

解析函數[編輯]

柯西在1823年指出函數e−1/x²x = 0處不解析。

如果泰勒級數對於區間(a-r, a+r)中的所有x都收斂並且級數的和等於f(x),那麼我們就稱函數f(x)為解析的(analytic)。若且唯若一個函數可以表示成為冪級數的形式時,它才是解析的。為了檢查級數是否收斂於f(x),通常採用泰勒定理估計級數的餘項。上面給出的冪級數展開式中的係數正好是泰勒級數中的係數。 泰勒級數的重要性體現在以下三個方面:

  1. 冪級數的求導和積分可以逐項進行,因此求和函數相對比較容易。
  2. 一個解析函數可被延伸為一個定義在複平面上的一個開片上的解析函數,並使得複分析這種手法可行。
  3. 泰勒級數可以用來近似計算函數的值。

對於一些無窮可微函數f(x)雖然它們的展開式收斂,但是並不等於f(x)。例如,分段函數 f(x) = \exp \left(- \frac{1}{x^2} \right) ,當x ≠ 0且f (0) = 0,則當x = 0所有的導數都為零,所以這個f(x)的泰勒級數為零,且其收斂半徑為無窮大,雖然這個函數f僅在x = 0處為零。而這個問題在複變函數內並不成立,因為當z沿虛軸趨於零時 \exp \left(- \frac{1}{z^2} \right) 並不趨於零。

一些函數無法被展開為泰勒級數因為那裡存在一些奇點。但是如果變數x是負指數冪的話,我們仍然可以將其展開為一個級數。例如, f(x) = \exp \left(- \frac{1}{x^2} \right) 就可以被展開為一個洛朗級數

Parker-Sochacki method英語Parker-Sochacki method[1]是最近發現的一種用泰勒級數來求解微分方程的定理。這個定理是對皮卡反覆運算的一個推廣。

泰勒級數列表[編輯]

複平面上餘弦函數的實數部分。
複平面上餘弦函數的第八度逼近
兩個以上的曲線放在一起

下面我們給出了幾個重要的泰勒級數。參數x複數時它們依然成立。

\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\quad \forall x: \left| x \right| < 1
(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} C(\alpha,n) x^n\quad \forall x: \left| x \right| < 1, \forall \alpha \in \mathbb{C}
二項式展開中的C(α,n)是二項式係數
e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad \forall x
\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}n x^n\quad \forall x\in (-1,1]
\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad \forall x
\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad \forall x
\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad \forall x: \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad \forall x: \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad \forall x: \left| x \right| < 1
\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad \forall x: \left| x \right| < 1
\arctan x = {{\pi {\mathop{\rm sgn}} x} \over 2} - {1 \over x} + \sum_{k = 1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)^k } \over {\left( {2k + 1} \right)x^{2k + 1} }}} \quad \forall x: \left| x \right| > 1
tan(x)展開式中的Bk伯努利數。sec(x)展開式中的Ek歐拉數
\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad \forall x
\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad \forall x
\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad \forall x: \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
\sinh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad \forall x: \left| x \right| < 1
\tanh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad \forall x: \left| x \right| < 1
tanh(x)展開式中的Bk伯努利數
W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad \forall x: \left| x \right| < \frac{1}{e}

多元函數的展開[編輯]

泰勒級數可以推廣到有多個變數函數
\sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin}
\frac{\partial^{n_1+\cdots+n_d}}{\partial x^{n_1}\cdots\partial x^{n_d}}
\frac{f(a_1,\cdots,a_d)}{n_1!\cdots n_d!}
(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}

歷史[編輯]

希臘哲學家芝諾在考慮了利用無窮級數求和來得到有限結果的問題,得出不可能的結論 - 芝諾悖論。後來,亞里士多德對芝諾悖論在哲學上進行了反駁,但德謨克利特以及後來的阿基米德進行研究,此部分數學內容才得到解決。 正是用了阿基米德的窮舉法才使得一個無窮級數被逐步的細分,得到了有限的結果。[2].幾個世紀之後,中國數學家劉徽也獨立提出了類似的方法。[3]

進入14世紀,馬德哈瓦英語Madhava of Sangamagrama最早使用了泰勒級數以及相關的方法[4]。儘管他的數學著作沒有流傳下來,但後來印度數學家的著作表明他發現了一些特殊的泰勒級數,這些級數包括正弦餘弦正切、和反正切三角函數等等。之後,喀拉拉學派英語Kerala school of astronomy and mathematics在他的基礎上進行了一系列的延伸與合理逼近,這些工作一直持續到16世紀。

到了17世紀,詹姆斯·格雷果里同樣繼續著這方面的研究並且發表了若干麥克勞林級數。但是直到1715年,布魯克·泰勒 [5] 提出了一個通用的方法來構建適用於所有函數的此類列級數。這就是後來被人們所熟知的泰勒級數。 麥克勞林級數是泰勒級數的特例,是愛丁堡大學科林·麥克勞林教授在18世紀發表的,並以其名字命名。

與牛頓插值公式的淵源[編輯]

自然哲學的數學原理》的第三編「宇宙體系」的引理五的圖例。這裡在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N,對應著6個值A,B,C,D,E,F,生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值,計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。

牛頓插值公式也叫做牛頓級數,由「牛頓前向差分方程」的項組成,得名於伊薩克·牛頓爵士,最早發表為他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編「宇宙體系」的引理五[6],此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續「泰勒展開」的離散對應。

差分[編輯]

對於x值間隔為非一致步長,牛頓計算均差,對x值間隔為單位步長1或一致但非單位量的情況,計算差分,前向差分的定義為:

\begin{align}
\Delta_h^1[f](x) &=  f(x + h) - f(x) \\
\Delta^n_h[f](x) &= \Delta_h^{n-1}[f](x+h) -\Delta_h^{n-1}[f](x) \\
\end{align}

插值公式[編輯]

牛頓插值公式為:


\begin{align}
f(x) &= f(a) + \frac {x-a} {h} \left( \Delta_h^1[f](a) + \frac {x-a-h} {2h}\left(\Delta_h^2[f](a) + \cdots \right) \right) \\
 &= f(a) + \sum_{k=1}^n \frac{\Delta_h^k[f](a)}{k!h^k} \prod_{i=0}^{k-1} ((x-a)-ih) \\
\end{align}

這成立於任何多項式函數和大多數但非全部解析函數。這裡的表達式

{x \choose k} = \frac{(x)_k}{k!} \quad\quad (x)_k=x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)

二項式係數,其中的(x)k是「下降階乘冪」,空乘積(x)0被定義為1。

無窮級數[編輯]

牛頓在1665年得出並在1671年寫的《流數法》中發表了ln(1+x)的無窮級數,在1666年得出了arcsin(x)和arctan(x)的無窮級數,在1669年的《分析學》中發表了sin(x)、cos(x)、arcsin(x)和ex的無窮級數;萊布尼茨在1673年大概也得出了sin(x)、cos(x)和arctan(x)的無窮級數。布魯克·泰勒在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》中研討了有限差分方法,其中論述了他在1712年得出的泰勒定理,這個成果此前詹姆斯·格雷果里在1670年和萊布尼茨在1673年已經得出,而約翰·伯努利在1694年已經在《教師學報》發表。

他對牛頓的均差分的步長取趨於0的極限,得出:


\begin{align}
f(x) &= f(a) + \lim_{h \to 0}\sum_{k=1}^\infty \frac{\Delta_h^k[f](a)}{k!h^k} \prod_{i=0}^{k-1} ((x-a)-ih) \\
 &= f(a) + \sum_{k=1}^\infty \frac{d^k}{dx^k}f(a) \frac{(x-a)^k}{k!}. \\
\end{align}

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

  1. ^ James S. Sochacki. The Modified Picard Method for Solving Arbitrary Ordinary and Initial Value Partial Differential Equations. James Madison University. [2008-05-02] (英文). 
  2. ^ Kline, M. (1990) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press. pp. 35-37
  3. ^ 吳文俊 《中國數學史大系》第三卷 367頁
  4. ^ Neither Newton nor Leibniz - The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala. MAT 314. Canisius College. [2006-07-09]. 
  5. ^ Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages 21-23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, A Source Book in Mathematics 1200-1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329-332.
  6. ^ Newton, Isaac, (1687). Principia, Book III, Lemma V, Case 1