測度收斂 是測度論 中的一個概念： 假設可測空間上有一個有趣卻很難直接構造的測度μ，我們希望能找到一列相對容易構造或分析的測度
μ
n
{\displaystyle \mu _{n}}
n
{\displaystyle n}
μ
n
{\displaystyle \mu _{n}}
μ
{\displaystyle \mu }
序列的極限 的想法一致：對於任何可接受的誤差
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
N
{\displaystyle N}
n
⩾
N
{\displaystyle n\geqslant N}
μ
n
{\displaystyle \mu _{n}}
μ
{\displaystyle \mu }
ε
{\displaystyle \varepsilon }
下面介紹3種最常見的測度收斂的定義。
測度的總變差收斂 [ 編輯 ] 測度的強收斂 [ 編輯 ] 測度的弱收斂 [ 編輯 ] 在數學 和統計學 中, 弱收斂 (即為泛函分析 中的 弱*收斂 )是 測度論 中廣泛應用的一種收斂。
下面是幾種測度弱收斂的等價定義。 這些等價定義被稱為 portmanteau定理 .[1]
定義
S
{\displaystyle S}
Borel σ-代數
Σ
{\displaystyle \Sigma }
度量空間 。我們稱一列(S , Σ)上的 概率測度
P
n
{\displaystyle P_{n}}
n
=
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle n=1,2,...}
P
{\displaystyle P}
P
n
⇒
P
{\displaystyle P_{n}\Rightarrow P}
如果下面任何一條條件得到滿足 (
E
n
{\displaystyle E_{n}}
μ
{\displaystyle \mu }
E
{\displaystyle E}
P
{\displaystyle P}
E
n
f
→
E
f
{\displaystyle E_{n}f\rightarrow Ef}
f
{\displaystyle f}
E
n
f
→
E
f
{\displaystyle E_{n}f\rightarrow Ef}
Lipschitz條件 的函數
f
{\displaystyle f}
lim sup
E
n
f
⩾
E
f
{\displaystyle \limsup E_{n}f\geqslant Ef}
上半連續 的函數
f
{\displaystyle f}
lim inf
E
n
f
⩾
E
f
{\displaystyle \liminf E_{n}f\geqslant Ef}
下半連續 的函數
f
{\displaystyle f}
lim sup
P
n
(
C
)
⩾
P
(
C
)
{\displaystyle \limsup P_{n}(C)\geqslant P(C)}
S 中的閉集
C
{\displaystyle C}
lim inf
P
n
(
U
)
⩾
P
(
U
)
{\displaystyle \liminf P_{n}(U)\geqslant P(U)}
S 中的開集
U
{\displaystyle U}
lim
P
n
(
A
)
⩾
P
(
A
)
{\displaystyle \lim P_{n}(A)\geqslant P(A)}
A
{\displaystyle A}
參考來源 [ 編輯 ]
^ Achim Klenke, Probability theory (2006) Springer-Verlag, ISBN 978-1-848000-047 -6 doi:10.1007/978-1-848000-048-3
參考文獻 [ 編輯 ] Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures. Basel: ETH Zürich, Birkhäuser Verlag. 2005. ISBN 3-7643-2428-7 Billingsley, Patrick. Probability and Measure . New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1995. ISBN 0-471-00710-2 Billingsley, Patrick. Convergence of Probability Measures . New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1999. ISBN 0-471-19745-9 
