本頁使用了標題或全文手工轉換

海龍-秦九韶公式

維基百科,自由的百科全書
前往: 導覽搜尋

海龍公式Heron's formulaHero's formula),又譯希羅公式[1]希倫公式海倫公式海隆公式,亦稱「海龍-秦九韶公式」。此公式相傳是亞歷山大港的希羅發現的,並可在其於公元60年的《Metrica》中找到其證明,利用三角形的三條邊長來求取三角形面積。亦有認為早於阿基米德已經懂得這條公式,而由於《Metrica》是一部古代數學知識的結集,該公式的發現時期很有可能先於希羅的著作。[2]

假設有一個三角形,邊長分別為a, b ,c ,三角形的面積S可由以下公式求得:

S=\sqrt{p (p-a)(p-b)(p-c)},其中p=\frac{a+b+c}{2}

中國南宋末年數學家秦九韶發現或知道等價的公式,其著作《數書九章》卷五第二題即三斜求積。「問沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,里法三百步,欲知為田幾何?」答曰:「三百十五頃.」其術文是:「以小斜冪併大斜冪,減中斜冪,餘半之,自乘於上;以小斜冪乘大斜冪,減上,餘四約之爲實,……開平方得積。」若以大斜記為a,中斜記為b,小斜記為c,秦九韶的方法相當於下面的一般公式:

S=\sqrt{\frac1{4} \left( a^2 c^2 - \left( \frac{a^2+c^2-b^2}{2} \right)^2 \right)},其中a \ge b \ge c

像中國古代的數學家一樣,他的方法沒有證明。根據現代數學家吳文俊的研究,秦九韶公式可由出入相補原理得出。一些中國學者將這個公式稱為秦九韶公式

由於任何n邊的多邊形都可以分割成n-2個三角形,所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測量土地的面積的時候,不用測三角形的高,只需測兩點間的距離,就可以方便地匯出答案。

證明[編輯]

利用三角公式和代數式變形來證明[編輯]

與希羅在他的著作《Metrica》中的原始證明不同,在此我們用三角公式和公式變形來證明。設三角形的三邊a, b ,c 的對角分別為A, B ,C ,則餘弦定理

\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

從而有


\begin{align}
\sin(C) & = \sqrt{1-\cos^2 C} \\
& = \sqrt{(1+\cos C)(1-\cos C)} \\
& = \sqrt{\left( 1+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right) \left( 1-\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right)} \\
& = \sqrt{\left( \frac{(a+b)^2-c^2}{2ab} \right) \left( \frac{c^2-(a-b)^2}{2ab} \right)} \\
& = \frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}}{2ab} \\
& = \frac{\sqrt{(2p)(2p-2c)(2p-2b)(2p-2a)}}{2ab} \\
& = \frac{2}{ab} \sqrt{p(p-c)(p-b)(p-a)}
\end{align}



\begin{align}
S & = \frac{1}{2}ab \sin(C) \\
& = \frac{ab}{2} \cdot \frac{2}{ab} \sqrt{(p)(p-a)(p-b)(p-c)} \\
& = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
\end{align}

資料來源[編輯]

參見[編輯]

外部連結[編輯]