球 (數學)

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歐幾里得空間中,n維球體指的是在同半徑的n-1維球面中所包含的空間。這一概念能使用在任意歐幾里得空間中。

生活中的實例:籃球

定義[編輯]

歐幾里得空間中,n維球體指的是在同半徑的n-1維球面中所包含的空間。其是一個集合,包含所有到某個固定點的距離不大於某值的點。

設M為度量空間,以M中的點p為圓心,以r > 0為半徑的開球為: (待補)

其中,d為距離函數或量度。

若將上述定義中的小於(<)改為小於等於(≤),則上式成為閉球的定義:


若半徑必為1,則該球稱為單元球。在n-維歐氏空間,一個閉單位球一般記作Dn.

性質[編輯]

  • 由於r > 0,無論是開球還是閉球,點p總是屬於上述定義的球。
  • 度量空間內任意一個開集都可以看成為開球的並集


歐幾里得幾何[編輯]

n-維歐幾里得空間中,按照一般歐幾里得度量,若空間是一條線,那球就是區間;若空間是一個平面,那球就是內的

三維情形的球表達式,表面積,體積公式請參見球面

相關概念[編輯]

  • 橢球體(橢球):由橢圓發展出來的類球體,所以有三個三維座標軸長,當其中兩個長度相等,則會是扁球或高球。其切面是橢圓,但在獨立長度軸為法線的面的切面是圓形。
    • 扁球:高比長的類球體。
    • 高球:高圓或扁高類球體,是「高」長過「長」的類球體。
  • 球缺:球體被平面截去一部分後剩餘的部分。
    • 半球體(半球):特殊的球缺,截面通過球心,將圓球切開一半的立體。

拓撲學[編輯]

拓撲上,有兩個含義,由上下文決定。

「(開)球」一詞有時被非正式地用於指代任何開集:可以用「p點周圍的一個球」代表包含p的一個開集。該集合同胚於什麼依賴於背景拓撲空間以及所選取的開集。同樣,「閉球」有時用於表示這樣一個開集的閉包。(這可能產生誤導,例如超度量空間中一個閉球不是同樣半徑的開球的閉包,它們都是既開且閉的。) 有時,鄰域用於指代這個意義上的球,但是鄰域其實有更一般的意義:p的一個鄰域是任何包含一個p的開集的集合,因此通常不是開集。

而且(更正式一點),一個(開或者閉)球是一個拓撲空間同胚於一個幾何學中描述的(開或者閉)的歐氏球,但可能沒有它的度量。一個球由它的維度給定:一個n維球稱為n-球並記為B^n或者D^n。對於不同的nm,一個n-球不同胚於一個m-球。球不必是光滑的;若它光滑,它不必微分同胚於該歐氏球

參看[編輯]