白雜訊

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雜訊的顏色
白色
粉色
紅色(布朗雜訊)
灰色
白雜訊功率譜

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白雜訊,是一種功率譜密度為常數的隨機訊號隨機過程。即,此訊號在各個頻段上的功率是一樣的。由於白光是由各種頻率(顏色)的單色光混合而成,因而此訊號的這種具有平坦功率譜的性質被稱作是「白色的」,此訊號也因此被稱作白雜訊。相對的,其他不具有這一性質的雜訊訊號被稱為有色雜訊

理想的白雜訊具有無限頻寬,因而其能量是無限大,這在現實世界是不可能存在的。實際上,我們常常將有限頻寬的平整訊號視為白雜訊,以方便進行數學分析。

統計特性[編輯]

白雜訊過程現實實例

術語白雜訊也常用於表示在相關空間的自相關為0的空域雜訊訊號,於是訊號在空間頻率域內就是「白色」的,對於角頻率域內的訊號也是這樣,例如夜空中向各個角度發散的訊號。右面的圖片顯示了計算機產生的一個有限長度的離散時間白雜訊過程。

需要指出,相關性和機率分布是兩個不相關的概念。「白色」僅意味著訊號是不相關的,白雜訊的定義除了要求均值為零外並沒有對訊號應當服從哪種機率分布作出任何假設。因此,如果某白雜訊過程服從高斯分布,則它是「高斯白雜訊」。類似的,還有泊松白雜訊、柯西白雜訊等。人們經常將高斯白雜訊與白雜訊相混同,這是不正確的認識。根據中心極限定理,高斯白雜訊是許多現實世界過程的一個很好的近似,並且能夠生成數學上可以跟蹤的模型,這些模型用得如此頻繁以至於加性高斯白雜訊成了一個標準的縮寫詞:AWGN。此外,高斯白雜訊有著非常有用的統計學特性,因為高斯變數的獨立性與不相關性等價

白雜訊是維納過程或者布朗運動的廣義均方導數(generalized mean-square derivative)。

白雜訊的數學期望為0:

\mu_n =  \mathbb{E} \{ n(t) \} = 0

自相關函數狄拉克δ函數

r_{nn} = \mathbb{E} \{ n(t) n(t-\tau) \} = \delta ( \tau )

上式正是對白雜訊的「白色」性質在時域的描述。由於隨機過程的功率譜密度是其自相關函數的傅立葉變換,而δ函數的傅立葉變換為常數,因此白雜訊的功率譜密度是平坦的。

頻譜圖上顯示的左邊的粉紅雜訊和右邊的白雜訊

雜訊的顏色[編輯]

也有其它「顏色」的雜訊存在,最常用的有粉紅、棕色和藍色雜訊。

應用[編輯]

白雜訊的應用領域之一是建築聲學,為了減弱內部空間中分散人注意力並且不希望出現的雜訊(如人的交談),使用持續的低強度雜訊作為背景聲音。一些緊急車輛的警報器也使用白雜訊,因為白雜訊能夠穿過如城市中交通雜訊這樣的背景雜訊並且不會引起反射,所以更加容易引起人們的注意。

電子音樂中也有白雜訊的應用,它被直接或者作為濾波器的輸入訊號以產生其它類型的雜訊訊號,尤其是在音訊合成中,經常用來重現類似於鐃鈸這樣在頻域有很高雜訊成分的打擊樂器。

白雜訊也用來產生衝激響應。為了在一個演出地點保證音樂會或者其它演出的均衡效果,從PA系統發出一個瞬間的白雜訊或者粉紅雜訊,並且在不同的地方監測雜訊訊號,這樣工程師就能夠建築物的聲學效應能夠自動地放大或者削減某些頻率,從而就可以調整總體的均衡效果以得到一個平衡的和聲。

白雜訊可以用於放大器或者電子濾波器的頻率響應測試,有時它與響應平坦的話筒或和自動均衡器一起使用。這個設計的思路是系統會產生白雜訊,話筒接收到揚聲器產生的白雜訊,然後在每個頻率段進行自動均衡從而得到一個平坦的響應。這種系統用在專業級的設備、高端的家庭立體聲系統或者一些高端的汽車收音機上。

白雜訊也作為一些隨機數位生成器的基礎使用。

白雜訊也可以用於審訊前使人迷惑,並且可能用於感覺剝奪技術的一部分。上市銷售的白雜訊機器產品有私密性增強器、睡眠輔助器以及掩飾耳鳴

數學定義[編輯]

白色隨機向量[編輯]

一個隨機向量 \mathbf{w} 為一個白色隨機向量若且唯若它的平均值函數與自相關函數滿足以下條件:

\mu_w =  \mathbb{E}\{ \mathbf{w} \} = 0
R_{ww} = \mathbb{E}\{ \mathbf{w} \mathbf{w}^T\} = \sigma^2 \mathbf{I}

意即它是一個平均值為零的隨機向量,並且它的自相關函數單位矩陣的倍數。

白色隨機過程(白雜訊)[編輯]

一個時間連續隨機過程w(t) where t \in \mathbb{R} 為一個白雜訊若且唯若它的平均值函數與自相關函數滿足以下條件:

\mu_w(t) =  \mathbb{E}\{ w(t)\} = 0
R_{ww}(t_1, t_2) = \mathbb{E}\{ w(t_1) w(t_2)\} = (N_{0}/2) \delta(t_1 - t_2)

意即它是一個對所有時間其平均值為零的隨機過程,並且它的自相關函數是狄拉克δ函數,有無限大的功率。

由上述自相關函數可推出以下的功率譜密度。

S_{xx}(\omega) = (N_{0}/2) \,\!

由於δ函數的傅立葉變換為1。而對於所有頻率來說,此功率譜密度是一樣的。因此這是對白雜訊之「白色」性質在頻域的表述。

隨機向量變換[編輯]

白色隨機向量的兩個理論應用是模擬以及whitening另外一個任意隨機向量。為了模擬一個任意隨機向量,我們使用一個仔細選擇的矩陣對白色隨機向量進行變換。我們選擇的變換矩陣能夠是被變換的白色隨機向量的平均值和協方差矩陣與模擬的任意向量的平均值和協方差矩陣相匹配。為了whiten一個任意的隨機向量,我們使用仔細選擇的矩陣對它進行變換,這樣得到的隨機向量就是一個白色隨機向量。

這兩個思想在通訊音訊領域中通道估計通道均衡這樣的應用中是很關鍵的。這些思想在數據壓縮中也有應用。

模擬隨機向量[編輯]

假設隨機向量 \mathbf{x}協方差矩陣 K_{xx},由於這個矩陣是 共軛對稱半正定,根據線性代數中的譜定理,我們可以用以下方法對角線或者分解矩陣,

\,\! K_{xx} = E \Lambda E^T

其中 E特徵向量正交矩陣\Lambda特徵值對角矩陣

通過對白色向量 \mathbf{w} 進行下面變換我們可以模擬這個平均\mathbf{\mu}、協方差矩陣為K_{xx}隨機向量 \mathbf{x} 的一階和二階矩量屬性:

 \mathbf{x} = H \, \mathbf{w} + \mu

其中

 \,\!H = E \Lambda^{1/2}

這樣,這個變換輸出的期望是

 \mathbb{E} \{\mathbf{x}\} = H \, \mathbb{E} \{\mathbf{w}\} + \mu = \mu

協方差矩陣是

 \mathbb{E} \{(\mathbf{x} - \mu) (\mathbf{x} - \mu)^T\} = H \, \mathbb{E} \{\mathbf{w} \mathbf{w}^T\} \, H^T = H \, H^T = E \Lambda^{1/2} \Lambda^{1/2} E^T = K_{xx}

Whitening 隨機向量[編輯]

whitening 一個平均值\mathbf{\mu}協方差矩陣K_{xx} 的向量 \mathbf{x} 的方法是執行下面的計算:

\mathbf{w} = \Lambda^{-1/2}\,  E^T \, ( \mathbf{x} - \mathbf{\mu} )

這樣,這個變換輸出的期望是

 \mathbb{E} \{\mathbf{w}\} = \Lambda^{-1/2}\,  E^T \, ( \mathbb{E} \{\mathbf{x} \} - \mathbf{\mu} ) = \Lambda^{-1/2}\,  E^T \, (\mu - \mu) = 0

協方差矩陣

 \mathbb{E} \{\mathbf{w} \mathbf{w}^T\} = \mathbb{E} \{ \Lambda^{-1/2}\,  E^T \, ( \mathbf{x} - \mathbf{\mu} )( \mathbf{x} - \mathbf{\mu} )^T E \, \Lambda^{-1/2}\, \}
 = \Lambda^{-1/2}\,  E^T \, \mathbb{E} \{( \mathbf{x} - \mathbf{\mu} )( \mathbf{x} - \mathbf{\mu} )^T\} E \, \Lambda^{-1/2}\,
 = \Lambda^{-1/2}\,  E^T \, K_{xx} E \, \Lambda^{-1/2}

對角線化 K_{xx} 得到:

 \Lambda^{-1/2}\,  E^T \, E \Lambda E^T E \, \Lambda^{-1/2} = \Lambda^{-1/2}\,  \Lambda \, \Lambda^{-1/2} = I

這樣,通過上面的變換就可以將隨機向量 whiten 成平均值為0、協方差矩陣是單位矩陣。

隨機訊號變換[編輯]

我們將模擬和白化這兩個概念推廣到連續時間隨機訊號或者隨機過程。我們創建一個濾波器用於模擬,將白雜訊注入其中,用輸出訊號模擬任意隨機過程的一階和二階矩。對於白化,我們將任意隨機訊號注入所選濾波器中,濾波器輸出是白雜訊。

模擬連續時間隨機訊號[編輯]

將白雜訊注入線性時不變濾波器中模擬任意隨機過程的一階和二階矩

我們可以使用固定的平均值 \mu協方差函數

K_x(\tau) = \mathbb{E} \left\{ (x(t_1) - \mu) (x(t_2) - \mu)^{*} \right\} \mbox{ where } \tau = t_1 - t_2

功率譜密度

S_x(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} K_x(\tau) \, e^{-j \omega \tau} \, d\tau

模擬任何廣義的穩定連續時間隨機過程 x(t) : t \in \mathbb{R}\,\!

我們可以使用頻域技術模擬這個訊號。

由於 K_x(\tau) 是個半正定埃爾米特矩陣,所以 S_x(\omega) 實數並且若且唯若 S_x(\omega) 滿足 Paley-Wiener criterion

 \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\log (S_x(\omega))}{1 + \omega^2} \, d \omega < \infty

時可以 factored 為

S_x(\omega) = | H(\omega) |^2 = H(\omega) \, H^{*} (\omega)

如果 S_x(\omega)有理函數,我們可以將它分解成極點-零點格式

S_x(\omega) = \frac{\Pi_{k=1}^{N} (c_k - j \omega)(c^{*}_k + j \omega)}{\Pi_{k=1}^{D} (d_k - j \omega)(d^{*}_k + j \omega)}

選擇最小相位 (minimum phase) H(\omega) 保證極點和零點都位於S 面的左側,這樣我們就可以使用 H(\omega) 作為濾波器的傳遞函數來模擬 x(t)

我們可以構建下面的線性非時變 (time-invariant) 濾波器來模擬 x(t)

\hat{x}(t) = \mathcal{F}^{-1} \left\{ H(\omega) \right\} * w(t) + \mu

其中 w(t) 是有如下一階和二階屬性的連續時間的白雜訊:

 \mathbb{E}\{w(t)\} = 0
 \mathbb{E}\{w(t_1)w^{*}(t_2)\} = K_w(t_1, t_2) = \delta(t_1 - t_2)

這樣,結果訊號 \hat{x}(t) 與所期望的訊號 x(t) 一樣有同樣的二階矩量屬性。

連續時間隨機訊號的白化[編輯]

任意隨機過程 x(t) 輸入一個線性時不變濾波器,濾波器將 x(t)白化為白雜訊

假設我們有一個廣義的穩定連續時間隨機過程 x(t) : t \in \mathbb{R}\,\!,與上面定義的訊號同樣的平均值 \mu協方差函數 K_x(\tau)功率譜密度 S_x(\omega)

我們可以使用頻域技術 白化 這個訊號,用上面的過程 factor 功率譜密度 S_x(\omega)

選擇最小相位 H(\omega) 得到極點和零點都位於s 面左側,這樣就可以用下面的 inverse 濾波器 whiten x(t)

H_{inv}(\omega) = \frac{1}{H(\omega)}

選擇的最小相位濾波器保證逆濾波器穩定的。另外,必須保證 H(\omega) 在所有 \omega \in \mathbb{R} 上都嚴格為正,這樣 H_{inv}(\omega) 就不會有任何 奇點

白化過程的最終格式如下所示:

w (t) = \mathcal{F}^{-1} \left\{ H_{inv}(\omega) \right\} * (x(t) - \mu)

這樣 w(t) 就是一個白色雜訊隨機過程,它的平均值為零、功率譜密度

S_{w}(\omega) = \mathcal{F} \left\{ \mathbb{E} \{ w(t_1) w(t_2) \} \right\} = H_{inv}(\omega) S_x(\omega)  H^{*}_{inv}(\omega) = \frac{S_x(\omega)}{S_x(\omega)} = 1

注意這個功率譜密度 對應於 w(t)協方差函數的 δ函數

K_w(\tau) = \,\!\delta (\tau)

參見[編輯]

外部連結[編輯]