蓋爾曼矩陣

默里·蓋爾曼

蓋爾曼矩陣，以物理學家默里·蓋爾曼命名，為SU(3)群無窮小生成元的一種表象。此群的李代數維度為8，因此有8組線性獨立的生成元，可寫為$g_{i}$，i值從1到8。

特殊表象

$\lambda _{i}$（i=1到8）表示如下：

$\lambda _{1}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$	$\lambda _{2}={\begin{bmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$	$\lambda _{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$
$\lambda _{4}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{bmatrix}}$	$\lambda _{5}={\begin{bmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{bmatrix}}$
$\lambda _{6}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}$	$\lambda _{7}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{bmatrix}}$	$\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{bmatrix}}$

這八個$\lambda _{i}$矩陣是厄米的，滿足對易關係：

$[g_{i},g_{j}]=if^{ijk}g_{k}\,$

其中，

$g_{i}={\frac {\lambda _{i}}{2}}\,$

上面出現的$g_{i}$是按照「歸一化」條件

$Tr(g_{i}g_{i})=1/2\,$

重新定義的蓋爾曼矩陣，是物理中常用的歸一化形式。

$f^{ijk}$關於三個指標i,j,k，是全反對稱的。它們的非零分量為

$f^{123}=1\ ,\quad f^{147}=f^{165}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=f^{376}={\frac {1}{2}}\ ,\quad f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\ .$

相關條目

• 包立矩陣

參考文獻

延伸閱讀

• Howard Georgi，Lie algebras in particle physics，ISBN 0-7382-0233-9
• George Arfken，Hans Weber，Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. ISBN 0123846544
• J. J. J. Kokkedee，The quark model，Frontiers in physics，ISBN 0805356118