向量

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\overrightarrow{a}的位置可自由移動
線性代數
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩陣  · 行列式  · 線性空間

向量英語vector)是數學物理學工程科學等多個自然科學中的基本概念,指一個同時具有大小方向幾何對象,因常常以箭頭符號標示以區別於其它量而得名。直觀上,向量通常被標示為一個帶箭頭的線段(如右圖)。線段的長度可以表示向量的大小,而向量的方向也就是箭頭所指的方向。物理學中的位移速度動量磁矩電流密度等,都是向量。與向量概念相對的是只有大小而沒有方向的純量

向量也常稱為矢量,並採用更為抽象的向量空間(也稱為線性空間)來定義,而定義具有物理意義上的大小和方向的矢量概念則需要引進了範數內積歐幾里得空間

表示方法[編輯]

向量由方向和程度(或:長度)兩個因素所組成,可以記為\vec{a}

註:過往在排版過程中,要在字母上加上箭頭比較困難,不像手寫那麼容易。所以在以往的書本印刷中,向量多數會用粗體字母表示,如\mathbf{v},但這樣做卻增加了閱讀困難,因為要區分是否粗體字有時不容易,例如 \!\mathrm{D}\!\mathbf{D} 肉眼看很易混淆。但隨著時代和技術進步,在加上電腦輔助排版,為求清楚明確起見,書籍中用粗體字母代表向量的情況也越來越少了[來源請求]

在立體坐標系中體現出的向量

向量的直觀圖形表示則一般使用帶箭頭的線段。而遇到某些特殊情況需要表示與記載紙面垂直的向量,則會使用圓圈中打叉或打點的方式來表示(如右圖)。圓圈中帶點的記號(⊙)表示由紙下方指向紙上方的向量,而圓圈中帶叉的記號(⊗)則表示由紙的上方指向紙下方的向量。由於這種記號不表示向量的大小,所以必須時需要在旁邊或其它地方另外註明。

3D Vector.svg

在直角坐標系中,定義有若干個特殊的基本向量,其它的向量可以通過這些基本向量來表示。在常見的三維空間直角坐標系Oxyz里,基本向量就是以橫軸(Ox)、豎軸(Oy) 以及縱軸(Oz) 為方向的三個單位向量 \vec{i}\vec{j}\vec{k}。這三個向量取好以後,其它的向量就可以通過三元數組來表示,因為它們可以表示成一定倍數的三個基本向量的總合。比如說一個標示為(2,1,3)的向量就是2個向量 \vec{i} 加上1個向量 \vec{j} 加上3個向量 \vec{k} 得到的向量。

(a, b, c) = a\vec{i} + b\vec{j} + c\vec{k}.

在進行矩陣運算時,向量也可以表達成列向量行向量,在線性代數運算將會有差異(如下例)。


\begin{array}{lcl}
\vec{a} &=& \begin{bmatrix}
 a\\
 b\\
 c\\
\end{bmatrix} \\
\vec{a} &=& [ a\ b\ c ].
\end{array}

簡介[編輯]

物理學和一般的幾何學中涉及的向量概念嚴格意義上應當被稱為歐幾里得向量幾何向量,因為它們的定義是建立在通常所說的歐幾里得空間上的。按照定義,歐幾里得向量由大小和方向構成。在線性代數中,向量是所謂向量空間中的基本構成元素。向量空間是基於物理學或幾何學中的空間概念而形成的一個抽象概念,是滿足一系列法則的元素的集合。歐幾里得空間便是線性空間的一種。向量空間中的元素就可以被稱為向量,而歐幾里得向量則是特指歐幾里得空間中的向量。

在一些上下文中,會假設向量有確定的起點和終點,當起點和終點改變後,構成的向量就不再是原來的向量。這樣的向量也被稱為固定向量。在另一些時候,會認為向量的起點和終點並不那麼重要。兩個起點不一樣的向量,只要大小相等,方向相同,就可以稱為是同一個向量。這樣的向量被稱為自由向量。在數學中,一般只研究自由向量,也就是起點可以不同,只要大小以及方向一樣,即可視為同一向量,與向量的起始點並無關係。一些文獻中會提到向量空間帶有一個特定的原點,這時可能會默認向量的起點是原點。[1]

例子[編輯]

一維向量[編輯]

某人家門口是一條南北向的道路。他散步時先向南行走100米,那麼他位置的移動就可以用一個大小為100米,方向為南的向量來表示。之後他再向北走300米,這一次的移動可以用一個大小為300米,方向為北的向量來表示。散步的人總共相對於他家的位移則可以用大小為200米,方向為北的向量來表示。幾何學上看來,這些向量都在同一條一維的直線上,只有兩個互相平行的方向。

物理學的例子[編輯]

在物理學中,許多常見的量都是用向量描述,例如運動學中的位移速度加速度,力學中的力矩,電磁學中的電流密度磁矩電磁波等等。其中向量的大小不一定是表示長度,還可以表示力的大小、電場或磁場的強弱等等。

附屬名詞[編輯]

數字一樣,一個向量中也有反向量、零向量、等向量...等量值。

反向量[編輯]

一個向量 \vec{u} 的反向量與它大小相等,但方向相反,一般記作 -\vec{u} 。如果向量 \vec{a} 是向量\vec{b} 的反向量,那麼 \vec{b} 也是 \vec{a} 的反向量[2]

零向量[編輯]

始點與終點重合,也就是重合點的向量。\vec{0}=\vec{AA}=\vec{BB}=...,具有方向性,但方向不定。[2]。因此,零向量與任一向量平行。[3]

等向量[編輯]

兩向量長度、方向相等,即為等向量

有向線段[編輯]

一個以點A為起點,B為終點的有向線段。

有向線段的概念建構於向量的方向與長度,差別在於多定義了始點終點。 在文字描述時,如果已知某有向線段起點終點分別是AB,此線段的長度可以記為|\overrightarrow{AB}|,即|\overrightarrow{AB}| = \overline{AB}

數量積[編輯]

數量積也叫點積、內積,它是向量與向量的乘積,其結果為一個純量,即為一個純量(非向量)。幾何上,數量積可以定義如下:

\vec{A}\vec{B}為兩個任意向量,它們的夾角為\theta,則他們的數量積為:

\vec{A} \cdot \vec{B}=\left | \vec{A} \right | \left | \vec{B} \right | \cos {\theta}[4]

即A向量在B向量方向上的投影量值,與B向量的乘積。反之亦然 數量積被廣泛應用於物理中,如做功就是用力的向量點乘位移的向量,即 W=\vec{F} \cdot \vec{s}

向量積[編輯]

向量積也叫叉積向量積,外積,它也是向量與向量的乘積,不過需要注意的是,它的結果是個向量。它的幾何意義是所得的向量的方向與被乘向量所在平面垂直,方向由右手定則規定,大小是兩個被乘向量組成的平行四邊形的面積。所以向量積不滿足交換律。

設有向量\vec{A}=(A_x\vec{i},A_y\vec{j},A_z\vec{k})\vec{B}=(B_x\vec{i},B_y\vec{j},B_z\vec{k})

則其向量積的矩陣表達式可寫作:

\vec{A} \times \vec{B}=\begin{vmatrix}
  \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
  A_x & A_y & A_z \\
  B_x & B_y & B_z
\end{vmatrix}

混合積[編輯]

三個向量 \vec{a}\vec{b}\vec{c}的混合積定義為,物理意義為三項量始於同點時所構成的體積:


\vec{a}\cdot(\vec{b}\times \vec{c})=
\vec{b}\cdot(\vec{c}\times \vec{a})=
\vec{c}\cdot(\vec{a}\times \vec{b})

線性相關性[編輯]

對於 m 個向量 \vec{v}_1\vec{v}_2,…,\vec{v}_m,如果存在一組不全為零的 m 個數 a_1a_2、…、a_m,使得 \sum_{i=1}^m {a_i \vec{v}_i}=\vec{0},那麼,稱 m 個向量 \vec{v}_1\vec{v}_2,……,\vec{v}_m 線性相關。如果這樣不全為零的 m 個數不存在,即上述向量等式僅當 a_1 =a_2 = … = a_m = 0 時才能成立,就稱向量 \vec{v}_1\vec{v}_2,…,\vec{v}_m 線性無關[5]

向量運算[編輯]

向量的大小是相對的,在有需要時,會規定單位向量,以其長度作為1。每個方向上都有一個單位向量[2]

向量之間可以如數字一樣進行運算。常見的向量運算有:加法減法,數乘向量以及向量之間的乘法數量積向量積)。

加法與減法[編輯]

向量的加法滿足平行四邊形法則三角形法則。具體地,兩個向量 \vec{a}\vec{b} 相加,得到的是另一個向量。這個向量可以表示為 \vec{a}\vec{b} 的起點重合後,以它們為鄰邊構成的平行四邊形的一條對角線(以共同的起點為起點的那一條,見下圖左),或者表示為將 \vec{a} 的終點和 \vec{b} 的起點重合後,從 \vec{a} 的起點指向 \vec{b} 的終點的向量:

向量加法.svg

兩個向量 \vec{a}\vec{b} 的相減,則可以看成是向量 \vec{a} 加上一個與 \vec{b} 大小相等,方向相反的向量。又或者,\vec{a}\vec{b} 的相減得到的向量可以表示為 \vec{a}\vec{b} 的起點重合後,從 \vec{b} 的終點指向 \vec{a} 的終點的向量:

向量減法.svg

當這兩個向量數值、方向都不同,基本向量 \vec{e}_1=(1,0,0),\vec{e}_2=(0,1,0),\vec{e}_3=(0,0,1) 時,向量和計算為

\vec{a}+\vec{b}
=(a_1+b_1)\vec{e}_1
+(a_2+b_2)\vec{e}_2
+(a_3+b_3)\vec{e}_3

並且有如下的不等關係:

\left |\vec{a}  \right | +\left |\vec{b}  \right | \ge \left |\vec{a}+\vec{b} \right | \ge \left |\vec{a}  \right | - \left |\vec{b}  \right |

此外,向量的加法也滿足交換律結合律[2]

向量與基[編輯]

向量空間分為有限向量空間與無限維向量空間。在有限維向量空間中,可以找到一組(有限個)向量\vec{e}_1, \vec{e}_2, \cdots , \vec{e}_n,使得任意一個向量 \vec{v} 都可以唯一地表示成這組向量的線性組合:

\vec{v} =v_1 \vec{e}_1 + v_2 \vec{e}_2 + \cdots + v_n \vec{e}_n

其中的純量v_1, v_2, \cdots , v_n是隨著向量 \vec{v} 而確定的。這樣的一組向量稱為向量空間的基。給定了向量空間以及一組基後,每個向量就可以用一個數組來表示了[6]。兩個向量 \vec{v}\vec{w} 相同,若且唯若表示它們的數組一樣。


\begin{array}{lcl}
v_1 &=& w_1 \\
v_2 &=& w_2 \\
\vdots \ && \vdots \\
v_n &=& w_n
\end{array}

兩個向量 \vec{v}\vec{w} 的和:

\vec{v} + \vec{w} = (v_1 + w_1)\vec{e}_1 + (v_2 + w_2 ) \vec{e}_2 + \cdots + (v_n + w_n ) \vec{e}_n

它們的數量積為:

\vec{v} \cdot \vec{w} =  v_1 \cdot  w_1  + v_2 \cdot w_2 + \cdots + v_n \cdot  w_n [4]

而純量k與向量v的乘積則為:

k \cdot \vec{v} =  (k \cdot v_1) \vec{e}_1 + (k \cdot v_2) \vec{e}_2 + \cdots + (k \cdot v_n) \vec{e}_n[4]

純量乘法[編輯]

一個純量 k 和一個向量 \vec{v} 之間可以做乘法,得出的結果是另一個與 \vec{v} 方向相同或相反,大小為 \vec{v} 的大小的|k|倍的向量,可以記成 k\vec{v} [2]。-1乘以任意向量會得到它的反向量,0乘以任何向量都會得到零向量 \vec{0}

兩點向量與單點分量[編輯]

向量的模長[編輯]

向量的大小也叫做範數或者模長,有限維空間中,已知向量的坐標,就可以知道它的模長。設向量\vec{v}=(v_1,v_2,\cdots,v_n)

范記作:\left \| \vec{v}\right \|
模長記作:\left| \vec{v} \right|

計算表達式為: \left \|\vec{v} \right \|= \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}[4]
或: \left|\vec{v} \right|= \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}

向量與定比分點、中點公式[編輯]

在實際應用中,向量運算時常會運用到定比分點定理。

平面直角坐標系Oxy

設平面直角坐標系Oxy原點O(0,0),內有點A(x_1,y_1),點B(x_2,y_2),點P(x_0,y_0),點P在點AB之間,且

\left|\overrightarrow{A P}\right|:\left|\overrightarrow{P B}\right|=n,則:

\overrightarrow{O P}(\frac{x_1+nx_2}{1+n},\frac{y_1+ny_2}{1+n})

特殊地,當n=1

\overrightarrow{O P}=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})

相應的有中點P坐標: (\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})


實際上,上述結論可以推廣到空間向量中。
設空間直角坐標系Oxyz內原點為O(0,0,0),有點A(x_1,y_1,z_1)B(x_2,y_2,z_2)AB點間有一點P,且

\left|\overrightarrow{A P}\right|:\left|\overrightarrow{P B}\right|=n

則:\overrightarrow{O P}=(\frac{x_1+nx_2}{1+n},\frac{y_1+ny_2}{1+n},\frac{z_1+nz_2}{1+n})

中點P坐標:

(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2})

附:平面幾何中定比分點定理的證明[編輯]

設平面直角坐標系Oxy內原點O(0,0),有點A(x_1,y_1),點B(x_2,y_2),點P(x_0,y_0),點P在點AB之間,且\left|AP\right|:\left|PB\right|=n,則:

\frac{x_0-x_1}{x_2-x_0}=n \Rightarrow x_0=\frac{x_1+nx_2}{1+n}
\frac{y_0-y_1}{y_2-y_0}=n \Rightarrow y_0=\frac{y_1+ny_2}{1+n}

參見[編輯]

參考來源[編輯]

  1. ^ 許以超. 《代數學引論》. 上海科學技術出版社. 1966. ,第29至30頁
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 俞正光, 李永樂. 《線性代數與解析幾何》. 清華大學出版社. 1998. ISBN 978-7-302-02854-3. ,第112至116頁
  3. ^ 人民教育出版社 課程教材研究所 中學數學課程教材研究開發中心 編. 《數學必修4 A版》. 人民教育出版社. 2007. ISBN 978-7-107-20334-3. ,第76頁
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 同濟大學應用數學系 編. 《線性代數(第4版)》. 高等教育出版社. 2003. ISBN 978-7-040-11941-1. ,第113頁
  5. ^ 同濟大學應用數學系 編. 《線性代數(第4版)》. 高等教育出版社. 2003. ISBN 978-7-040-11941-1. ,第82頁
  6. ^ 同濟大學應用數學系 編. 《線性代數(第4版)》. 高等教育出版社. 2003. ISBN 978-7-040-11941-1. ,第144至145頁