矩陣

(已重新導向自 矩陣)

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}1 & 9 & -13 \\20 & 5 & -6 \end{bmatrix}$

定義

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 9 & 13 & 5 \\ 1 & 11 & 7 \\ 3 & 9 & 2 \\ 6 & 0 & 7 \end{bmatrix}$

標記

$\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 7 \\ 4 & 6 & 8 \end{bmatrix}$

矩陣的基本運算

(A ± B)i,j $=$ Ai,j ± Bi,j

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 & 1+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 6 \\ 8 & 5 & 0 \end{bmatrix}$

(cA)i,j = c · Ai,j.
$2 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 1 & 2\cdot 8 & 2\cdot (-3) \\ 2\cdot 4 & 2\cdot (-2) & 2\cdot 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix}$

(AT)i,j = Aj,i.
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -6 & 7 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -6 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}$

(A + B)T $=$ AT + BT
c(A + B) $=$ cA + cB

c(AT) $=$ (cA)T.

矩陣乘法

$[\mathbf{AB}]_{i,j} = A_{i,1}B_{1,j} + A_{i,2}B_{2,j} + \cdots + A_{i,n}B_{n,j} = \sum_{r=1}^n A_{i,r}B_{r,j}$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & (1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\ (-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$

• 結合律：(AB)C $=$ A(BC),
• 左分配律：(A + B)C $=$ AC + BC,
• 右分配律：C(A + B) $=$ CA + CB.

c(AB) $=$ (cA)B $=$ A(cB)
(AB)T $=$ BTAT

$\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 3\\ \end{bmatrix}, \qquad \quad \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3 & 4\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix}$

線性方程組

$\begin{cases}a_{1,1}x_{1} + a_{1,2}x_{2} + \cdots + a_{1,n}x_{n}= b_{1} \\ a_{2,1}x_{1} + a_{2,2}x_{2} + \cdots + a_{2,n}x_{n}= b_{2} \\ \vdots \quad \quad \quad \vdots \\ a_{m,1}x_{1} + a_{m,2}x_{2} + \cdots + a_{m,n}x_{n}= b_{m} \end{cases}$

$\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}$

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{bmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix},\quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}$

線性變換

 水平錯切變換， 幅度m=1.25. 水平反射變換 「擠壓」變換， 壓縮程度r=3/2 放縮變換，3/2倍 旋轉變換，左轉30° $\begin{bmatrix} 1 & 1.25 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} \frac{3}{2} & 0 \\ 0 &\frac{2}{3} \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}\cos(\frac{\pi}{6}) & -\sin(\frac{\pi}{6})\\ \sin(\frac{\pi}{6}) & \cos(\frac{\pi}{6})\end{bmatrix}$

(gf)(x) = g(f(x)) = g(Ax) = B(Ax) = (BA)x

方塊矩陣

AB $=$ In

$\begin{bmatrix} d_{11} & 0 & 0 \\ 0 & d_{22} & 0 \\ 0 & 0 & d_{33} \\ \end{bmatrix}$（對角矩陣），$\begin{bmatrix} l_{11} & 0 & 0 \\ l_{21} & l_{22} & 0 \\ l_{31} & l_{32} & l_{33} \\ \end{bmatrix}$（下三角矩陣）和$\begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \\ \end{bmatrix}$（上三角矩陣）。

行列式

R2裏的一個線性變換f將藍色圖形變成綠色圖形，面積不變，而順時針排布的向量x1和x2的變成了逆時針排布。對應的矩陣行列式是-1.

2×2矩陣的行列式是

$\det \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} = ad-bc$

3×3矩陣的行列式由6項組成。更高維矩陣的行列式則可以使用萊布尼茲公式寫出[16]，或使用拉普拉斯展開由低一維的矩陣行列式遞推得出[17]

特徵值與特徵向量

n×n的方塊矩陣A的一個特徵值和對應特徵向量是滿足

$\mathbf{Av} = \lambda \mathbf{v}$[21]的純量$\lambda$以及非零向量$\mathbf{v}$。特徵值和特徵向量的概念對研究線性變換很有幫助。一個線性變換可以通過它對應的矩陣在向量上的作用來可視化。一般來說，一個向量在經過映射之後可以變為任何可能的向量，而特徵向量具有更好的性質[22]。假設在給定的基底下，一個線性變換對應著某個矩陣A，如果一個向量x可以寫成矩陣的幾個特徵向量的線性組合：
$\mathbf{x} = c_1 \mathbf{x}_{\lambda_1} + c_2 \mathbf{x}_{\lambda_2} + \cdots + c_k \mathbf{x}_{\lambda_k}$

$\mathbf{Ax} = c_1 \lambda_1 \mathbf{x}_{\lambda_1} + c_2 \lambda_2 \mathbf{x}_{\lambda_2} + \cdots + c_k \lambda_k \mathbf{x}_{\lambda_k}$

$\det(\lambda \mathsf{I}_n - \mathbf{A}) = 0.\$[23]這個定義中的行列式可以展開成一個關於$\lambda$n多項式，叫做矩陣A特徵多項式，記為$p_{\mathbf{A}}$。特徵多項式是一個首一多項式（最高次項係數是1的多項式）。它的根就是矩陣A特徵值[24]哈密爾頓－凱萊定理說明，如果用矩陣A本身代替多項式中的不定元$\lambda$，那麼多項式的值是零矩陣[25]
$p_{\mathbf{A}}(\mathbf{A}) = 0$

正定性

 矩陣表達式 $\begin{bmatrix} \frac{1}{4} & 0\\ 0 & -\frac{1}{4}\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} \frac{1}{4} & 0\\ 0 & \frac{1}{4}\end{bmatrix}$ 正定性 不定矩陣 正定矩陣 對應二次型 $Q(x, y) = \frac14 (x^2 - y^2)$ $Q(x, y) = \frac14 (x^2 + y^2)$ 取值圖像 說明 正定矩陣對應的二次型的取值範圍永遠是正的， 不定矩陣對應的二次型取值則可正可負

n×n的實對稱矩陣A如果滿足對所有非零向量x ∈ Rn，對應的二次型

Q(x) $=$ xTAx

矩陣的計算

A−1 $=$ Adj(A) / det(A)

矩陣分解

LU分解將矩陣分解為一個下三角矩陣L和一個上三角矩陣U的乘積[34]。分解後的矩陣可以方便某些問題的解決。例如解線性方程組時，如果將係數矩陣A分解成A $=$ LU的形式，那麼方程的求解可以分解為求解Ly $=$ bUx $=$ y兩步，而後兩個方程可以十分簡潔地求解（詳見三角矩陣中「向前與向後替換」一節）。又例如在求矩陣的行列式時，如果直接計算一個矩陣A的行列式，需要計算大約(n + 1)!次加法和乘法；而如果先對矩陣做LU分解，再求行列式，就只需要大約n3次加法和乘法，大大降低了計算次數。這是因為做LU分解的複雜度大約是n3次，而後注意到LU是三角矩陣，所以求它們的行列式只需要將主對角線上元素相乘即可。

An $=$ (PDP−1)n $=$ PDP−1PDP−1...PDP−1 $=$ PDn P−1

矩陣的推廣

一般域和環上的矩陣

$p_{X_{\alpha} } = \left( \operatorname{min}_{\mathbf{K}} (\alpha) \right)^r \,$。其中的$r$是擴域L/K $(\alpha)$的階數[41]

R交換環，則$\mathcal{M}(m,\mathbf{R})$是一個帶單位元R-代數，滿足結合律，但不滿足交換律。其中的矩陣仍然可以用萊布尼茲公式定義行列式。一個矩陣可逆若且唯若其行列式為環R中的可逆元（域上的矩陣可逆只需行列式不等於0）[44]

矩陣群

MTM = I

(Mv) · (Mw) = v · w.[50]

分塊矩陣

$P = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 2\\ 1 & 2 & 7 & 5\\ 4 & 9 & 2 & 6\\ 6 & 1 & 5 & 8\end{bmatrix}$

$P_{11} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} , P_{12} = \begin{bmatrix} 3 & 2\\ 7 & 5\end{bmatrix} , P_{21} = \begin{bmatrix} 4 & 9 \\ 6 & 1 \end{bmatrix} , P_{22} = \begin{bmatrix} 2 & 6\\ 5 & 8\end{bmatrix}$
$P = \begin{bmatrix} P_{11} & P_{12}\\ P_{21} & P_{22}\end{bmatrix}$。將矩陣分塊可以使得矩陣結構清晰，在某些時候可以方便運算、證明。兩個大小相同、分塊方式也相同的矩陣可以相加。行和列的塊數符合矩陣乘法要求時，分塊矩陣也可以相乘。將矩陣分塊相乘的結果與直接相乘是一樣的。用分塊矩陣求逆，可以將高階矩陣的求逆轉化為多次低階矩陣的求逆[57]

應用

$a + ib \leftrightarrow \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix},$

數學分析

$H(f)(x) = \left[ \frac {\partial^2 f}{\partial x_i \, \partial x_j}(x) \right ]$
n=2時，海森矩陣$\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$的特徵值一正一負，說明函數f(x,y) = x2 − y2在 (x = 0, y = 0)處有一個鞍點（紅色點）

$f(x+h) = f(x) + \nabla f (x) \cdot h + \frac12 h^T H(f)(x) h + \circ \left( \| x \|^3\right)$

$J_f(x) = \left [\frac {\partial f_i}{\partial x_j}(x) \right ]_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}$。如果n>m，而$J_f(x)$又是滿秩矩陣（秩等於m）的話，根據反函數定理，可以找到函數fx附近的一個局部的反函數[68]

$(\mathbf{E}) \qquad \qquad \sum_{1\leqslant i, j \leqslant n} a_{ij} \frac {\partial^2 f}{\partial x_i \, \partial x_j} + \sum_{i=1}^n b_i \frac {\partial f}{\partial x_i} + cf = g. \qquad$ 並假設$a_{ij} =a_{ji},$

機率論與統計

$Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{i1} + \beta_2 X_{i2} + \ldots + \beta_p X_{ip} + \varepsilon_i, \qquad i = 1, \ldots, n$

量子態的線性組合

1925年海森堡提出第一個量子力學模型時，使用了無限維矩陣來表示理論中作用在量子態上的運算元[80]。這種做法在矩陣力學中也能見到。例如密度矩陣就是用來刻畫量子系統中「純」量子態的線性組合表示的「混合」量子態[81]

注釋與參考

腳註

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13. ^ Brown 1991, Definition I.5.13
14. ^ Brown 1991, Definition I.2.28
15. ^ 這個結論容易從矩陣乘法的定義獲得：
$\scriptstyle\operatorname{tr}(\mathsf{AB}) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n A_{ij} B_{ji} = \operatorname{tr}(\mathsf{BA})$
16. ^ Brown 1991, Definition III.2.1
17. ^ Mirsky 1990, Theorem 1.4.1
18. ^ Brown 1991, Theorem III.2.12
19. ^ Brown 1991, Corollary III.2.16
20. ^ Brown 1991, Theorem III.3.18
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22. ^ Steven A. Leduc [[#CITEREFSteven A. Leduc|]], 第293頁
23. ^ Brown 1991, Definition III.4.9
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