等於

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數學上,兩個數學對象是相等的,若他們在各個方面都相同。這就定義了一個二元謂詞等於,寫作「=」;x = y 若且唯若xy 相等。通常意義上,等於是通過兩個元素間的等價關係來構造的。將兩個表達式用等於符號連起來,就構成了等式

注意,有些時候「A = B」並不表示等式。例如,Tn)= O(n2)表示在數量級 n2上漸進。因為這裡的符號「=」不滿足若且唯若的定義,所以它不等於等於符號;實際上,O(n2) = Tn)是沒有意義的。請參見大O符號了解這部分內容。

等價二元關係的表格

集合A 上的等於關係是種二元關係,滿足自反性對稱性反對稱性傳遞性。 實際上,這是A 上唯一滿足所有這些性質的關係。 去掉對反對稱性的要求,就是等價關係。 相應的,給定任意等價關係R,可以構造商集A/R,並且這個等價關係將『下降為』A/R 上的等於。

在任何條件下都成立的等式稱為恆等式,包含未知數的等式稱為方程式

邏輯形式[編輯]

謂詞邏輯含有標準的關於相等的公理來形式化萊布尼茨律。萊布尼茨律是由哲學家萊布尼茨在17世紀提出來的。 萊布尼茨的想法是,兩樣物體是同一的,若且唯若它們有完全相同的性質。 形式化這一說法,可以寫成

任意xyx = y 若且唯若對任意謂詞PPx)若且唯若Py)。

然而,在一階邏輯中,不能對謂詞進行量化。因此,需要使用下述公理

對任意xy,若x 等於y,則Px)若且唯若Py)。

這條公理對任意單變數的謂詞P 都有效,但只定義了萊布尼茨律的一個方向:若xy 相等,則它們具有相同的性質。 可以通過簡單的假設來定義萊布尼茨律的另一個方向:

對任意xx 等於x

則若xy 具有相同的性質,則特定的它們關於謂詞P 是相同的。這裡謂詞P 為:Pz)若且唯若x = z。 由於Px)成立,Py)必定也成立(相同的性質),所以x = yP 的變數為y).

等於的一些基本性質[編輯]

替代性:
任意ab 和任意表達式Fx),若a = b,則Fa)= Fb)(設等式兩邊都有意義)。
一階邏輯中,不能量化像F 這樣的表達式(它可能是個函數謂詞)。
一些例子:
  • 對任意實數abc,若a = b,則a + c = b + c(這裡Fx)為x + c);
  • 對任意實數abc,若a = b,則a - c = b - c(這裡Fx)為x - c);
  • 對任意實數abc,若a = b,則a'c = b'c(這裡Fx)為x'c);
  • 對任意實數abc,若a = bc 不為,則a/c = b/c(這裡Fx)為x/c);
自反性:
對任意量aa = a
這個性質通常在數學證明中作為中間步驟。
對稱性:
對任意量ab,若a = b,則b = a
傳遞性:
對任意量abc,若a = b b = c,則a = c
實數或其他對象上的二元關係約等於」,即使進行精確定義,也不具有傳遞性(即使看上去有,但許多小的能夠疊加成非常大)。然而,在絕大多數情況下,等於具有傳遞性。
儘管對稱性和傳遞性通常看上去是基本性質,但它們能夠通過替代性和自反性證明得到。

符號的歷史[編輯]

等於」符號或 「」被用來表示一些算術運算的結果,是由Robert Recorde在1557年發明的。

由於覺得書寫文字過於麻煩,Recorde在他的作品 The Whetstone of Witte 中採用了這一符號。原因是符號中的兩條線一樣長,表明其連接的兩個量也向等。這一發明在威爾斯的St Mary教堂有記錄。

約等於的符號是不等於的符號是

外部連結[編輯]

參見[編輯]

等號