等差數列

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等差數列(又名算術數列)是數列的一種。在等差數列中,任何相鄰兩項的差相等。該差值稱為公差。例如數列3, 5, 7, 9, 11, 13, \cdots 就是一個等差數列。 在這個數列中,從第二項起,每項與其前一項之差都等於2,即公差為2。

通項公式[編輯]

如果一個等差數列的首項標為\ a_1,公差標為\ d,那麼該等差數列第\ n項的表達式為:

\ a_n=a_1+(n-1)d

等差數列的任意兩項之間存在關係:

\ a_n=a_m+(n-m)d

和為 Sn 首項 a1 末項 an 公差d 項數n ,同時可得

\ d=(a_n-a_m)/(n-m)

等差中項[編輯]

給定任一公差為\ d的等差數列 a_n=a_1+(n-1)d\quad , n>1。從第二項\ a_2開始,前一項加後一項的和的値為該項的兩倍。 例:\ a_1+ a_3=2a_2

證明:

a_{n-1}+a_{n+1} \neq 2a_n

a_1+(n-2)d+a_1+(n)d\neq2[a_1+(n-1)d]
2a_1+2nd-2d\neq2a_1+2nd-2d(矛盾)
\ a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n

證畢

等差數列的和[編輯]

等差數列的和稱為等差級數

公式[編輯]

一個公差為d的等差數列a_1,a_2,\dots,a_nn項的級數為:

S_n = a_1+a_2+\dots+a_n=\sum_{i=0}^{n-1} (a_1+id)=\frac{n( a_1 + a_n)}{2} =\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d ]}{2}.

等差級數在中文教科書中常表達為:

一個等差數列的和等於其首項與末項的和乘以項數除以2。

通常認為數學家高斯在小時候就發現這個公式。在他三年級的時候,他的老師讓學生們做從1加到100【1+2+3+4+……+100】的習題。高斯很快發現數列的規律,用上面的公式得出了5050的答案。但顯然可以肯定的是,在遠遠比這更早的古希臘甚至古埃及,就已經有人掌握了等差數列的這種求和的方法。

證明[編輯]

將一個等差級數寫作以下兩種形式:

 S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\dots\dots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)
 S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\dots\dots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n

將兩公式相加來消掉公差d:

\ 2S_n=n(a_1+a_n)

整理公式,並且注意 \ a_n = a_1 + (n-1)d,我們有:

 S_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}=\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d]}{2}

證畢 (上述言論有部分不甚完整,還望諒解)

幾何方法[編輯]

範例:1+2+3+...+10=? 示範影片

如影片中所示:以面積為1單位、2單位、3單位...、10單位的長方形排成圖形

再拿一整組同樣大小的長方形反向排列,得一大長方形,而其面積除以二即為等差級數的和

原理同:

1 + 2 + 3 + \dots + 10 = \frac{(1+10)+(2+9)+(3+8)+\dots+(10+1)}{2} = \frac{(1+10)\times 10}{2} = 55.

以幾何方法計算等差級數 示範影片

S_n = a_1+a_2+\dots+a_n
S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\dots\dots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)
S_n= \frac{[a_1+[a_1+(n-1)]]\times n }{2} = \frac{[2a_1+(n-1)d] \times n}{2}.

也就是我們所熟悉的:S_n=上底加下底乘以高除以二。

性質[編輯]

所有等差數列的等差級數均可表示為\ S_n=pn^2+qn的形式(\ p\ q為常數),其中公差\ d = 2p,首項\ a_1 = p + q

如果以S_n表示新數列的公差為等差級數,則數列{S_n  , S_{2n}-S_n , S_{3n}-S_{2n} , \cdots}也是等差數列。而且新數列的公差為n^2d

等差數列的積[編輯]

等差數列的較其和的公式複雜。給定一首項為\ a_1,公差為\ d 且其首項為正整數 \ (a_1\in\mathbb{Z}^+) 的等差數列,其前\ n項的積寫作:

a_1a_2\cdots a_n = d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}}

其中 x^{\overline{n}}\ x\ n上升階乘冪。 注意,該公式對於首項不是正數的等差數列並不適用。等差數列的積的公式是基於階乘定義的一個推廣。

等差數列的一些其他性質[編輯]

如果m+n=p+q,那麼對於等差數列{a_n},則有:

a_m+a_n=a_p+a_q

當m≠n時,有 S_{m+n}=\frac{(S_m-S_n)(m+n)}{m-n} 證明如下:

     S_{m+n}=a(m+n)+\frac{(m+n)(m+n-1)d}{2}
    \frac{S_{m+n}(m-n)}{m+n}=a(m-n)+\frac{(m^2-n^2-m+n)d}{2}
    \frac{S_{m+n}(m-n)}{m+n}=am+\frac{m(m-1)d}{2}-an-\frac{n(n-1)d}{2}=S_{m}-S_{n}
    S_{m+n}=\frac{(S_m-S_n)(m+n)}{m-n}

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

  • Sigler, Laurence E. (trans.). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. 2002: 259–260. ISBN 0-387-95419-8.