羅素悖論

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羅素悖論(英語:Russell's paradox),也稱為理髮師悖論書目悖論,是英國哲學家伯特蘭·羅素於1901年提出的悖論,一個關於的內涵問題。

羅素悖論[編輯]

我們通常希望:任給一個性質(例如:「年滿三十歲」就是一個性質),滿足該性質的所有集合總可以組成一個集合。但這樣的企圖將導致悖論:

羅素悖論:設有一性質,並以一性質函數表示:,且其中的自變量有此特性:

現假設由性質能夠確定一個滿足性質的集合——也就是說 。那麼現在的問題是是否成立?

首先,若,則的元素,那麼具有性質,由性質函數可以得知

其次,若,根據定義,是由所有滿足性質的類組成,也就是說,具有性質,所以

羅素悖論還有一些更為通俗的描述,如理髮師悖論、書目悖論。但理髮師悖論被一些人認為只是羅素悖論的一種描述方式,僅以理髮師悖論並無法完全敘述羅素悖論。

羅素悖論在類的理論中通過內涵公理而得到解決。

理髮師悖論和羅素悖論等價[編輯]

理髮師悖論:

一個城市裡唯一的理髮師立下了以下的規定:只幫那些自己不理髮的人理髮。

  現在問一個問題:理髮師應該為自己理髮嗎?

  你會發現理髮師處於兩難,因為:

  • 如果理髮師不給自己理髮,他需要遵守規則,幫自己理髮。
  • 如果理髮師是自己理髮的,他需要遵守規則,不給自己理髮。

理髮師悖論和羅素悖論是等價的:

因為,如果把每個人對應一個集合,這個集合的元素被定義成這個人刮臉的對象。那麼,理髮師宣稱,他對應的集合裡的元素,都是城裡不屬於自己對應的集合的人,並且城裡所有不屬於自身對應集合的人都屬於理髮師對應的集合,那麼他是否屬於他自己對應的集合?這樣就由理髮師悖論得到羅素悖論。反過來的變換也是成立的[1]

羅素悖論與書目悖論等價[編輯]

另一種等價的悖論為書目悖論,第一類的書的目錄有它自己的條目,經典的例子就是維基百科(以及多數的網絡百科全書)。第二類的書目錄則沒有它自己的條目,一般的書目都是如此,問:今有一圖書館員,想將第二類的書名編輯成一冊,則將所有第二類書籍名稱統整的該書該不該擁有自己名稱的條目?

假設(1):擁有自己名稱的條目

假設(2):不擁有自己名稱的條目

分析:

假設(1):擁有自己名稱的條目

        表示該書是一本第一類的書
        =>與命題不符(該書目錄只有第二類)=>是第二類的書

假設(2):不擁有自己名稱的條目

        表示該書為一本第二類的書
        =>與命題不符(在目錄沒有該書名)=>是第一類的書

因為,如果把每本書對應一個集合,這個集合的元素被定義成這本書分類的方式。那麼,該統整書對應的集合裡的元素,都是館內不屬於自己對應的集合的書,並且館內所有不屬於自身對應集合的書都屬於該統整書對應的集合,那麼該書是否屬於它自己對應的集合?這樣就由書目悖論得到羅素悖論。

羅素悖論解決方案[編輯]

根據路德維希·維根斯坦邏輯哲學論3.333,任何命題不能包含自身,同理一個函數不能包含自身。 例子: 假設一個函數,如果命題不能不包含自身(即可以包含自身),那麼就會有這個命題就會同一個F但有2個意義的情況。內層F為φ,外層F為Ψφ。應寫成「(∃φ):F(φu). φu」(維根斯坦用「.」表示 「&」) 由此解決羅素悖論本身。

參見[編輯]

參考來源[編輯]

  1. ^ Press, The MIT. Russell's Paradox. The MIT Press. [2019-08-30]. (原始內容存檔於2020-03-21) (英語).