自然對數

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自然對數 ln(x) 的函數圖像

自然對數Natural logarithm)是以 e底數對數函數,標記作 ln(x) 或 loge(x) ,其逆函數指數函數 ex

數學表示方法[編輯]

自然對數的一般表示方法為\ln x\!。數學中也常見以\log x\!表示自然對數。[1]若為了避免與基為10的常用對數\log x\!混淆,可用「全寫」\log_{\boldsymbol{e}} x\!

歷史[編輯]

雙曲線扇形笛卡爾平面{(x,y)}上的一個區域,由從原點到(a, 1/a)和(b, 1/b)的射線,以及雙曲線 xy = 1圍成。在標準位置的雙曲線扇形有a = 1且b > 1,它的面積為ln(b)[2],此時雙曲線扇形對應正雙曲角
當直角雙曲線下的兩段面積相等時,x的值呈等比數列,x2/x1=x1/x0=k,y的值也呈等比數列,y2/y1=y1/y0=1/k。

約翰·納皮爾在1614年[3]以及Jost Bürgi英語Jost Bürgi在6年後[4],分別發表了獨立編制的對數表,當時通過對接近1的底數的大量乘運算,來找到指定範圍和精度的對數和所對應的真數,當時還沒出現有理數冪的概念,直到1742年William Jones英語William Jones (mathematician)才發表了現在的冪指數概念[5]。按後世的觀點,Jost Bürgi的底數1.000110000相當接近自然對數的底數e,而約翰·納皮爾的底數0.9999999910000000相當接近1/e[6]。實際上不需要做開高次方這種艱難運算,約翰·納皮爾用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算,Henry Briggs英語Henry Briggs (mathematician)建議納皮爾改用10為底數未果,他用自己的方法[7]於1624年部份完成了常用對數表的編制。

形如f(x) = xp的曲線都有一個代數反導數,除了特殊情況p = −1對應於雙曲線的弓形面積英語Quadrature (mathematics),即雙曲線扇形;其他情況都由1635年發表的卡瓦列里弓形面積公式英語Cavalieri's quadrature formula給出[8],其中拋物線的弓形面積由公元前3世紀的阿基米德完成(拋物線的弓形面積英語The Quadrature of the Parabola),雙曲線的弓形面積需要發明一個新函數。1647年Grégoire de Saint-Vincent英語Grégoire de Saint-Vincent將對數聯繫於雙曲線xy=1的弓形面積,他發現x軸上[a,b]兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形同[c,d]對應的扇形,在a/b=c/d時面積相同,這指出了雙曲線從x = 1x = t的積分f(t)滿足[9]

f(tu) = f(t) + f(u).\,

1649年,Alphonse Antonio de Sarasa英語Alphonse Antonio de Sarasa將雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年,伊薩克·牛頓推廣了二項式定理,他將1/(1+x)展開並逐項積分,得到了自然對數的無窮級數。「自然對數」最早描述見於尼古拉斯·麥卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中[10],他也獨立發現了同樣的級數,即自然對數的麥卡托級數。大約1730年,歐拉定義互為逆函數的指數函數和自然對數為[11][12]

e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} (1+x/n)^n,
\ln(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} n(x^{1/n} - 1).

形式定義[編輯]

ln(a)展現為曲線 f(x) = 1/x從1至a下的面積。如果a小於1,從a到1的面積計為負數。

歐拉定義自然對數為序列的極限

\ln(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} n(x^{1/n} - 1).

ln(a)正式定義為積分

\ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx.

這個函數為對數是因滿足對數的基本性質:

\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b). \,\!

這可以通過將定義了ln(ab)的積分拆分為兩部份,並在第二部份中進行換元x = ta來證實:


\ln (ab)
= \int_1^{ab} \frac{1}{x} \; dx
= \int_1^a \frac{1}{x} \; dx \; + \int_a^{ab} \frac{1}{x} \; dx
=\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{at} \; d(at)

=\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{t} \; dt
= \ln (a) + \ln (b).

冪公式ln(tr) = r ln(t)可如下推出:


\ln(t^r) = \int_1^{t^r} \frac{1}{x}dx = \int_1^t \frac{1}{u^r} d\left(u^{r}\right) = \int_1^t \frac{1}{u^r} \left(ru^{r - 1} \, du\right) = r \int_1^t \frac{1}{u} \, du = r \ln(t).

第二個等式使用了換元 u = x1/r

自然數的倒數的總和

1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k},

叫做調和級數。它與自然對數有密切聯繫:當n趨於無窮的時候,差

\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n),

收斂歐拉-馬歇羅尼常數。這個關係有助於分析演算法比如快速排序的性能。[13]

自然對數還有在某些情況下更有用的另一個積分表示:

 \ln(x) = -\lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^\infty \frac{dt}{t}\left( e^{-xt} - e^{-t} \right).

導數[編輯]

自然對數的圖像和它在x = 1.5處的切線。
ln(1 + x)的泰勒多項式只在−1 < x ≤ 1範圍內有逐步精確的近似。

自然對數的導數

\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.\,

用自然對數定義的更一般的對數函數,logb(x) = ln(x)/ln(b),根據其逆函數即一般指數函數的性質,它的導數為[14][15]

\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x\ln(b)}.

根據鏈式法則,以f(x)為參數的自然對數的導數為

\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}.

右手端的商叫做f對數導數英語logarithmic derivative,通過ln(f(x))的導數的方法計算f'(x)叫做對數微分英語logarithmic differentiation[16]

性質[編輯]

  • \ln(1) = 0 \,
  • \ln(-1) = i \pi \,
(參見複數對數)
  • \ln(x) < \ln(y) \quad{\rm for}\quad 0 < x < y \,
  • \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \,
  • \ln(x^y) = y \, \ln(x) \,
  • \frac{x-1}{x} \leq \ln(x) \leq x-1 \quad{\rm for}\quad x > 0 \,
  • \ln{( 1+x^\alpha )} \leq \alpha x \quad{\rm for}\quad x \ge 0, \alpha \ge 1 \,

冪級數[編輯]

自然對數的導數性質導致了ln(1 + x)在0處的泰勒級數,也叫做麥卡托級數

\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots
對於所有 \left|x\right| \leq 1, 但不包括x = -1.

x − 1代入x中,可得到ln(x)自身的級數。通過在麥卡托級數上使用歐拉變換,可以得到對絕對值大於1的任何x有效的如下級數:

\ln{x \over {x-1}} = \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n x^n}} = {1 \over x}+ {1 \over {2x^2}} + {1 \over {3x^3}} + \cdots \,.

這個級數類似於貝利-波爾溫-普勞夫公式

還要注意到 x \over {x-1} 是自身的逆函數,所以要生成特定數y的自然對數,簡單把 x \over {x-1} 代入x中。

\ln{x} = \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n}} \left( {x - 1 \over x} \right)^n = \left( {x - 1 \over x} \right) + {1 \over 2} \left( {x - 1 \over x} \right)^2 + {1 \over 3} \left( {x - 1 \over x} \right)^3 + \cdots \,
對於\quad \operatorname{Re} (x) \geq \frac12 \,.

積分[編輯]

自然對數通過分部積分法積分:

\int \ln (x) \,dx = x \ln (x)  - x + C.

自然對數可以簡化形如g(x) = f '(x)/f(x)的函數的積分:g(x)的一個原函數給出為ln(|f(x)|)。這是基於鏈式法則和如下事實:

\ {d \over dx}\left( \ln \left| x \right| \right) = {1 \over x}.

換句話說,

\int { 1 \over x} dx = \ln|x| + C

\int { \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx} = \ln |f(x)| + C.

例子[編輯]

下面是 g(x) = tan(x)的例子:

\begin{align}
\int \tan (x) \,dx &= \int {\sin (x) \over \cos (x)} \,dx \\
&= \int {-{d \over dx} \cos (x) \over {\cos (x)}} \,dx. \\
\end{align}

f(x) = cos(x) 且 f'(x)= – sin(x):

\begin{align}\int \tan (x) \,dx &= -\ln{\left| \cos (x) \right|} + C \\
&= \ln{\left| \sec (x) \right|} + C \\
\end{align}

與雙曲函數的關係[編輯]

直角雙曲線(方程y = 1/x)下,雙曲線三角形(黃色),和對應於雙曲角u雙曲線扇形(紅色)。這個三角形的邊分別是雙曲函數中cosh和sinh的√2倍。
射線出原點交單位雙曲線\scriptstyle x^2\ -\ y^2\ =\ 1於點\scriptstyle (\cosh\,a,\,\sinh\,a),這裡的\scriptstyle a是射線、雙曲線和\scriptstyle x軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點,這個面積被認為是負值。

18世紀約翰·海因里希·蘭伯特介入了雙曲函數[17],並計算了雙曲幾何雙曲三角形的面積[18]。對數函數是在直角雙曲線xy=1下定義的,可構造雙曲線直角三角形,底邊在線y=x上,一個頂點是原點,另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數,是自然對數的逆函數指數函數,即要形成指定雙曲角u,在漸進線即x或y軸上需要有的x或y的值。顯見這裡的底邊是\left(e^u + e^{ -u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2},垂線是\left(e^u - e^{-u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}

通過旋轉和縮小線性變換,得到單位雙曲線下的情況,有:

  • \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}
  • \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}

單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線xy=1下雙曲角的 1/2。

連分數[編輯]

儘管自然對數沒有簡單的連分數,但有一些廣義連分數如:

\begin{align}
\ln (1+x) &= \frac{x^1}{1}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\cdots \\
 &= \cfrac{x}{1-0x+\cfrac{1^2x}{2-1x+\cfrac{2^2x}{3-2x+\cfrac{3^2x}{4-3x+\cfrac{4^2x}{5-4x+\ddots}}}}} \\
\end{align}

\begin{align}
\ln \left( 1+\frac{x}{y} \right) &= \cfrac{x} {y+\cfrac{1x} {2+\cfrac{1x} {3y+\cfrac{2x} {2+\cfrac{2x} {5y+\cfrac{3x} {2+\ddots}}}}}} \\
 &= \cfrac{2x} {2y+x-\cfrac{(1x)^2} {3(2y+x)-\cfrac{(2x)^2} {5(2y+x)-\cfrac{(3x)^2} {7(2y+x)-\ddots}}}} \\
\end{align}

這些連分數特別是最後一個對接近1的值快速收斂。但是,更大的數的自然對數,可以輕易的用這些更小的數的自然對數的加法來計算,帶有類似的快速收斂。

例如,因為2 = 1.253 × 1.024,2的自然對數可以計算為:


\begin{align}
\ln 2 &= 3 \ln \left( 1+\frac{1}{4} \right) + \ln \left( 1+\frac{3}{125} \right) \\
&= \cfrac{6} {9-\cfrac{1^2} {27-\cfrac{2^2} {45-\cfrac{3^2} {63-\ddots}}}}
+ \cfrac{6} {253-\cfrac{3^2} {759-\cfrac{6^2} {1265-\cfrac{9^2} {1771-\ddots}}}}. \\
\end{align}

進而,因為10 = 1.2510 × 1.0243,10的自然對數可以計算為:


\begin{align}
\ln 10 &= 10 \ln \left( 1+\frac{1}{4} \right) + 3\ln \left( 1+\frac{3}{125} \right) \\
 &= \cfrac{20} {9-\cfrac{1^2} {27-\cfrac{2^2} {45-\cfrac{3^2} {63-\ddots}}}}
+ \cfrac{18} {253-\cfrac{3^2} {759-\cfrac{6^2} {1265-\cfrac{9^2} {1771-\ddots}}}}. \\
\end{align}

複數對數[編輯]

指數函數可以擴展為對任何複數x得出複數值為ex的函數,只需要簡單使用x為複數的無窮級數;這個指數函數的逆函數形成複數對數,並帶有正常的對數的多數性質。但是它涉及到了兩個困難: 不存在x使得ex = 0;並且有著e2πi = 1 = e0。因為乘法性質仍適用於複數指數函數,ez = ez+2nπi,對於所有複數z和整數n

所以對數不能定義在整個複平面上,並且它是多值函數,就是說任何複數對數都可以增加2πi的任何整數倍而成為等價的對數。複數對數只能在切割平面上是單值函數。例如,ln i = 1/2 πi 或 5/2 πi 或 −3/2 πi 等等;儘管 i4 = 1,4 log i 不能定義為 2πi 或 10πi 或 −6 πi,以此類推。

主值定義[編輯]

對於每個非0複數z = x + yi,主值Log z是虛部位於區間(−π,π]內的對數。表達式Log 0不做定義,因為沒有複數w滿足ew = 0。

要對Log z給出一個公式,可以先將z表達為極坐標形式,z = re。給定z,極坐標形式不是確切唯一的,因為有可能向θ增加2π的整數倍,所以為了保證唯一性而要求θ位於區間(−π,π]內;這個θ叫做幅角的主值,有時寫為Arg z或atan2(y,x)。則對數的主值可以定義為[19]

\operatorname{Log} z := \text{ln } r + i \theta = \ln |z| + i \operatorname{Arg} z = \operatorname{ln}\sqrt{x^2+y^2} + i \operatorname{atan2}(y,x).

例如,Log(-3i) = ln 3 − πi/2。

常見科學用法[編輯]

自然指數有應用於表達放射衰變(放射性)之類關於衰減的過程,如放射性原子數目N隨時間變化率dN/dt=-pN,常數p為原子衰變機率,積分得N(t)=N(0)·exp(-pt)。

註釋與引用[編輯]

  1. ^ 例如哈代賴特所著的《數論入門》"Introduction to the theory of numbers" (1.7, Sixth edition, Oxford 2008)的註解 "log x is, of course the 'Napierian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest."(log x 當然是以e為基,x的「納皮爾」對數。「常用」對數在數學上毫無重要。)
  2. ^ 證明:從1到b積分1/x,增加三角形{(0, 0), (1, 0), (1, 1)},並減去三角形{(0, 0), (b, 0), (b, 1/b)}。
  3. ^ Ernest William Hobson, John Napier and the invention of logarithms, 1614, Cambridge: The University Press. 1914 
  4. ^ Boyer, Carl B., A History of Mathematics, New York: John Wiley & Sons. 1991, ISBN 978-0-471-54397-8 
  5. ^ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^x=\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right)^{\frac {x}{n}}
    在最初的概念下,底數是接近1的數,而對數是整數;經過簡單變換後,底數變大了,成為接近數學常量e的數,而對數變小了,成為 x/n。
  6. ^ 選取接近e的底數b,對數表涉及的bx為單調增函數,定義域為0到1而值域為1到b;選取接近1/e的底數b,對數表涉及的bx為單調減函數,定義域為0到∞而值域為1到0。
  7. ^ 10^{\frac{1}{2^{54}}}這個接近1的數為基礎。
  8. ^ 博納文圖拉·卡瓦列里在1635年的《Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota》中給出定積分
    \int_0^a x^n\,dx = \tfrac{1}{n+1}\, a^{n+1} \qquad n \geq 0,
    不定積分形式為:
    \int x^n\,dx = \tfrac{1}{n+1}\, x^{n+1} + C \qquad n \neq -1.
    獨立發現者還有:皮埃爾·德·費馬Gilles de Roberval英語Gilles de Roberval埃萬傑利斯塔·托里拆利
  9. ^ 設a=1,x軸上[a,b]兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形面積為f(b),[c,d]對應的扇形面積為f(d)-f(c),d=bc,即為f(bc)-f(c),當且僅當f(bc)=f(b)+f(c)時,兩雙曲線扇形面積相等。
  10. ^ J. J. O'Connor; E. F. Robertson, The number e, The MacTutor History of Mathematics archive. September 2001 [2009-02-02] 
  11. ^ 卡瓦列里弓形面積公式,對於負數值的n(x的負數冪),由於在x = 0處有個奇點,因此定積分的下限為1,而不是0,即為:
    \int_1^a x^n\,dx = \tfrac{1}{n+1} (a^{n+1} - 1) \qquad n \neq -1.
    歐拉的自然對數定義:
    \begin{align}
\ln(x)  &=\lim_{n \rightarrow \infty} n(x^{1/n} - 1) \\
&=\lim_{n \rightarrow -1} \tfrac{1}{n+1} (x^{n+1} - 1). \\
\end{align}
  12. ^ Maor, Eli, e: The Story of a Number, Princeton University Press. 2009, ISBN 978-0-691-14134-3 ,sections 1, 1.
    Eves, Howard Whitley, An introduction to the history of mathematics, The Saunders series. 6th, Philadelphia: Saunders. 1992, ISBN 978-0-03-029558-4 , section 9-3
    Boyer, Carl B., A History of Mathematics, New York: John Wiley & Sons. 1991, ISBN 978-0-471-54397-8 , p. 484, 489
  13. ^ Havil, Julian, Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton University Press. 2003, ISBN 978-0-691-09983-5 , sections 11.5 and 13.8
  14. ^ Lang 1997, section IV.2
  15. ^ Calculation of d/dx(Log(b,x)). Wolfram Alpha. Wolfram Research. [15 March 2011]. 
  16. ^ Kline, Morris, Calculus: an intuitive and physical approach, Dover books on mathematics, New York: Dover Publications. 1998, ISBN 978-0-486-40453-0 , p. 386
  17. ^ Eves, Howard, Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, Courier Dover Publications. 2012:  59, ISBN 9780486132204, "We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions." 
  18. ^ Ratcliffe, John, Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, 149, Springer. 2006:  99, ISBN 9780387331973, "That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien, which was published posthumously in 1786." 
  19. ^ Sarason, Section IV.9.

參考[編輯]

  • John B. Conway, Functions of one complex variable, 2nd edition, Springer, 1978.
  • Serge Lang, Complex analysis, 3rd edition, Springer-Verlag, 1993.
  • Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964.
  • Donald Sarason, Complex function theory, 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.
  • E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.