自然數

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各種各樣的
基本

\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}

正數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^+ \end{smallmatrix}
自然數 \begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}
正整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^+ \end{smallmatrix}
小數
有限小數
無限小數
循環小數
有理數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}
代數數 \begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}
實數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}
複數 \begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}
高斯整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}

負數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^- \end{smallmatrix}
整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}
負整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^- \end{smallmatrix}
分數
單位分數
二進分數
規矩數
無理數
超越數
虛數
二次無理數
艾森斯坦整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}

延伸

雙複數
四元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}
共四元數
八元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}
超數
上超實數

超複數
十六元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}
複四元數
大實數
超實數 \begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}
超現實數

其他

對偶數
雙曲複數
序數
質數
同餘
可計算數
艾禮富數

公稱值
超限數
基數
P進數
規矩數
整數數列
數學常數

圓周率 \begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}
 = 3.141592653…
自然對數的底 \begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}
 = 2.718281828…
虛數單位 \begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}
 = \begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}
無窮大 \begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}

自然數,可以是指正整數(1, 2, 3, 4...),亦可以是非負整數(0, 1, 2, 3, 4...)。在數論通常用前者,而集合論計算機科學則多數使用後者。認為自然數不包含的其中一個理由是因為人們(尤其是小孩)在開始學習數字的時候是由「一、二、三...」開始,而不是由「零、一、二、三...」開始, 因為這樣是很不自然的。

自然數通常有兩個作用:

  • 可以被用來計數(如「有三個蘋果」),參閱基數
  • 也可用於排序(如「這是國內第三大城市」),參閱序數

自然數有關整除性的特性,例如素數的分布,屬於數論研究範圍的課題。有關計數的問題,比如Ramsey理論在組合學中研究。

數學家一般以\mathbb{N}代表以自然數組成的集合。這是一個可數的,無上界無窮集合

歷史與0的定性[編輯]

自然數由數數目而起。古希臘人最早研究其抽象特性,當中畢達哥拉斯學派更視之為宇宙之基本。其它古文明也對其研究作出極大貢獻,尤其以印度對0的接受,為人稱道。

零早於公元前400年被巴比倫人用作數碼使用。瑪雅人於公元200年將零視為數字,但未與其它文明有所交流。現代的觀念由印度學者婆羅摩笈多於公元628年提出,經阿拉伯人傳至歐洲。歐洲人開始時仍對零作為數字感到抗拒,認為零不是一個「自然」數。

19世紀末,集合論者給自然數一個較嚴謹的定義。據此定義,把零(對應於空集)包括於自然數內更為方便。邏輯論者及計算機科學家,接受集合論者的定義。而其他一些數學家,主要是數論學家,則依從傳統把零拒之於自然數之外。

在全球範圍內,目前針對0是否屬於自然數的爭論依舊存在。

在中國大陸,2000年左右之前的中小學教材一般將0列入自然數之內,或稱其屬於「擴大的自然數列」[1]。在2000年左右之後的新版中小學教材中,普遍將0列入自然數。[2][3]

國際標準ISO 31-11:1992《量和單位 第十一部分:物理科學和技術中使用的數學標誌與符號》(已被ISO/IEC 80000-2取代)中,從集合論角度規定:符號 \mathbb{N} 所表示的自然數集是包括正整數和0。

中國於1993年制定的強制性國家標準《物理科學和技術中使用的數學符號》(GB 3102.11-93)參照國際標準ISO 31-11:1992規定:\mathbb{N}表示「非負整數集;自然數集」,\mathbb{N}={0,1,2,3,...}。

符號[編輯]

數學家們使用 N\mathbb{N} 來表示所有自然數的集合。當指正整數時,為了明確的表示不包含0,自然數集合可如下表示:

當指非負整數時,為了明確的表示包含0,自然數集合可如下表示:

  • N0\mathbb{N}^{0}

定義[編輯]

爲了給出自然數的嚴格定義,皮亞諾採用序數理論提出自然數的5條公理,被稱爲皮亞諾公理。這五條公理用非形式化的方法敘述如下:

  1. 1是自然數;
  2. 每一個確定的自然數n都有一個確定的後繼者,記作n+n+1n+1也是自然數;
  3. 如果mn都是自然數,並且m+1 = n+1的後繼數,那麼m = n
  4. 1不是任何自然數的後繼者;
  5. 如果一些自然數的集合S具有性質:
 (1)1在S中;(2)若nS中,则n+1也在S中。

那麼S = N。(這條公理保證了數學歸納法的正確性,從而被稱為歸納法原理)

若將0也視作自然數,則公理中的1要換成0。

基數理論中,集合論的一般作法是把一自然數看作是所有比它少的自然數組成的集合,即 0 = { },1 = {0},2 = {0,1},3 = {0,1,2} ……若有人把自然數看作集合,通常就是如上。

在此定義下,在集合 n 內就有 n 個元素;而若 n 小於 m,則 n 會是 m子集

性質[編輯]

自然數加法可經a+0=aa+(b+1)=(a+b)+1遞歸定義而成。因而得出交換么半群(N,+),是由1生出的自由么半群,其中么元0。此么半群服從消去律,可嵌入一內:最小的是整數群。

同理,自然數乘法\times 可經a \times 0=0a \times (b+1)=ab+a 得出。而(N, \times)亦是交換么半群;\times+符合分配律

a \times (b+c)=ab+ac

我們說a \le b若且唯若有自然數c使得a+c=b(N, \le)是一個良序集,即每個非空子集都有一個最小的自然數。此序也和加法及乘法兼容,即若abc都是自然數且a \le b,則a+c \le b+cac \le bc

給出兩個自然數abb \ne 0,可找到唯一兩個自然數qr使得

a=bq+r

q稱為「商數」而r稱為「餘數」。 若r=0a可被b 除盡,記為b|a

相關概念有可除性輾轉相除質數及其它數論慨念。

推廣[編輯]

自然數有兩種推廣:序數用作排列,而基數用於判定集合的大小。

對於有限序列或有限集合,序數及基數皆與自然數同。

參考文獻[編輯]

  1. ^ 王好民,《談談中學數學中的「0」》。曲阜師院學報(自然科學版),1979年03期。
  2. ^ (滄州市第一中學)李元星,潘峰,《關於0是自然數的探討》。教育實踐與研究,2004年01期。
  3. ^ (江蘇省連雲港市墟溝實驗小學)傅海洋,《「0是自然數」引發的教學問題》。現代中小學教育,2007年08期。
  4. ^ 大陸高中課本亦有用「N*」表示正整數集。人民教育出版社 課程教材研究所。中國數學課程教材研究開發中心. 普通高中标准课程实验教科书 数学1 必修 A版. 人民教育出版社. 2004年5月. ISBN 9787107177057 (簡體中文). "N*N+ 正整數集"