自然數的集合論定義

已經提出了多種使用集合論定義自然數的方式。

當代標準

在 ZFC 和有關理論中，自然數的集合論定義是約翰·馮·諾伊曼的序數定義:

1. 定義空集為零。
2. 定義 n 的後繼為 n ∪ {n}

無窮公理接著確保所有自然數的集合 N 存在。容易證明上述定義滿足皮亞諾算術公理。它也有一個特別的性質（在其他定義中不一定如此），就是每個自然數 n 都是恰好含 n 個元素的集合，即{0,1,2,...,n-1}。

最老的定義

弗雷格（和伯蘭特·羅素獨立的）提議了如下定義。非形式的，每個自然數 n 被定義為其每個成員都有 n 個元素的集合。更形式的說，一個自然數是在等勢的關係下的所有集合的等價類。這看起來是循環定義其實不是。

更加形式的說，首先定義 0 為 $\{\emptyset \}$（這是其唯一元素是空集的集合）。接著給定任何集合 A，定義:

$\sigma (A)$ 為 $\{x\cup \{y\}\mid x\in A\wedge y\not \in x\}$。

σ(A) 是通過向 A 的所有成員 x 增加一個新元素而獲得的集合。$\sigma$ 是後繼函數的集合論運算實現（operationalization）。有了函數 σ ，就可以說 1 = $\sigma (0),$2 = $\sigma (1)$, 3 = $\sigma (2)$，以此類推。這個定義有預期的效果：我們所定義的 3 實際上是其成員都有三個元素的集合。

如果全集 V 有有限勢 n，則 $n+1=\sigma (V)=\emptyset$, $\sigma (\emptyset )=\emptyset$，自然數的序列就此終結。所以如果 Frege-Russell 自然數要滿足皮亞諾公理，所用到的公理化集合論必須包括無窮公理。自然數的集合可以被定義為包含 0 並閉合在 σ 下的所有集合的交集。

在樸素集合論、類型論和根源於類型論的集合論如新基礎集合論和相關系統中，這個定義是可行的。但是它在公理化集合論 ZFC 和相關系統中不可行，因為在這種系統中在等勢下的等價類作為集合而言太大了。這是由於羅素悖論的原因，在 ZFC 中沒有全集 V。

Hatcher（1982）從一些基礎系統，包括 ZFC 和範疇論推導出了皮亞諾公理。他也從弗雷格的 Grundgesetze 系統出發，使用現代符號和自然演繹謹慎的推導出這些公理。當然，羅素悖論證明了這個系統是不自恰的，但是 George Boolos（1998）和 Anderson 與 Zalta（2004）展示了如何修補它。

參見

• 皮亞諾算術
• ZFC
• 公理化集合論
• 新基礎集合論

引用

• Anderson, D. J., and Edward Zalta, 2004, "Frege, Boolos, and Logical Objects," Journal of Philosophical Logic 33: 1-26.
• George Boolos, 1998. Logic, Logic, and Logic.
• Hatcher, William S., 1982. The Logical Foundations of Mathematics. Pergamon. In this text, S refers to the Peano axioms.
• Holmes, Randall, 1998. Elementary Set Theory with a Universal Set. Academia-Bruylant. The publisher has graciously consented to permit diffusion of this introduction to NFU via the web. Copyright is reserved.
• Patrick Suppes, 1972 (1960). Axiomatic Set Theory. Dover.

外部連結

• Stanford Encyclopedia of Philosophy:
  • Quine's New Foundations （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） -- by Thomas Forster.
  • Alternative axiomatic set theories -- by Randall Holmes.
• McGuire, Gary, "What are the Natural Numbers? （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）"
• Randall Holmes: New Foundations Home Page. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）