芝諾悖論

芝諾悖論（英語：Zeno's paradoxes）又稱芝諾佯謬，是古希臘哲學家埃利亞的芝諾提出的一系列關於運動的不可分性的哲學悖論。這些悖論由於被記錄在亞里斯多德的《物理學》一書中而為後人所知。芝諾提出這些悖論是為了支持他老師巴門尼德關於「存在」不動、是一的學說。這些悖論是芝諾反對存在運動的論證，其中最著名的兩個是：「阿基里斯追烏龜」和「飛矢不動」。

兩分法悖論

主條目：兩分法悖論

“ 運動是不可能的。由於運動的物體在到達目的地前必須到達其半路上的點，若假設空間無限可分則有限距離包括無窮多點，於是運動的物體會在有限時間內經過無限多點。 ” ——芝諾

這裡的「運動」不是距離的概念，而是速度的概念。從A點到B點的運動不僅僅涉及到距離，並且涉及到時間。

阿基里斯悖論

“ 動得最慢的物體不會被動得最快的物體追上。由於追趕者首先應該達到被追者出發之點，此時被追者已經往前走了一段距離。因此被追者總是在追趕者前面。 ” ——亞里斯多德，物理學 VI:9, 239b15

常見的敘述為芝諾提出的追著烏龜的阿基里斯，本悖論因此得其名。芝諾提出讓烏龜和阿基里斯賽跑，兩者起點不同，烏龜的起點位於阿基里斯身前1000米處，並且假定阿基里斯的速度是烏龜的10倍。比賽開始後，若阿基里斯跑了1000米，設所用的時間為t，此時烏龜便領先他100米；當阿基里斯跑完下一個100米時，他所用的時間為t/10，烏龜仍然領先他10米；當阿基里斯跑完下一個10米時，他所用的時間為t/100，烏龜仍然領先他1米。芝諾認為，阿基里斯永遠無法追上烏龜。

如柏拉圖描述，芝諾說這樣的悖論，是興之所至的小玩笑。首先，巴門尼德編出這個悖論，用來嘲笑「數學派」所代表的畢達哥拉斯的「1>0.999...，1-0.999...>0」思想。然後，他又用這個悖論，嘲笑他的學生芝諾的「1=0.999...，但1-0.999...>0」思想。最後，芝諾用這個悖論，反過來嘲笑巴門尼德的「1-0.999...=0，或1-0.999...>0」思想。

悖論的解決

如果將阿基里斯步行的速度為每秒10m，烏龜爬行的速度為每秒0.1m， 並且在比賽之前，阿基里斯讓烏龜先爬999m，在這種條件下，阿基里斯追趕烏龜所用的時間為：

 999 ÷ 10 = 99.9秒
 (99.9 × 0.1) ÷ 10 = 0.999秒
 (0.999 × 0.1) ÷ 10 = 0.00999秒
 · · · · · ·

這些數字，按其先後排列，可以構成一個無限序列：

 99.9, 0.999, 0.00999, · · ·  
 求其和：S = 99.9/(1 −1/100) = 100.909090...秒

因此阿基里斯只要跑101秒，即可超越烏龜。
換個角度說，阿基里斯之所以追不上烏龜，原因在於小前提「由於追趕者首先應該達到被追者出發之點，此時被追者已經往前走了一段距離。」已經限制了阿基里斯追趕的時間(距離)。
因此會得到無限的時間序列。

求極限值

追烏龜亦涉及到極限是否存在的問題。譬如說，阿基里斯的速度改為10m/s，烏龜的速度是1m/s，烏龜原先在阿基里斯前面9m。進行上述步驟後，總共所花的時間應表示為$t=0.9+0.09+0.009+...=0.999...$。

其一，關於極限這個無限過程的意義，涉及到實無限與潛無限（potential infinity）的討論。潛無限的性質是無限過程無法完成，故上述級數雖然能無限逼近1，但不能說是等於1──故沒有一個時間點（若有，必須是1）能代表烏龜被追上的時間。在潛無限的框架下，可以假設空間無法無限分割，如此一來此悖論就不存在了。但實無限的理論是，無限過程可以完成，即逼近的過程與其極限等價，故阿基里斯可以追上烏龜。現在的實數，極限，微積分都建立在實無限上。對潛無限來說，實數，極限等都不成立，只能無限逼近。

其二，關於要如何找到該無限過程的極限，歐拉曾提出「$0.9999999999\dots =1$」之證明如下：

主條目：0.999…

令$S=0.99999999999\dots$

則$10S=9.9999999999\dots$

兩式相減可得：

${\begin{aligned}10S-S&=9.9999999999\dots -0.99999999999\dots \\9S&=9\\S&=1\end{aligned}}$

故$0.99999999999\dots =1$

飛矢不動悖論

“ 一支飛行的箭是靜止的。由於每一時刻這支箭都有其確定的位置因而是靜止的，因此箭就不能處於運動狀態。 ” ——芝諾

但由於箭要達到每一時刻的固定位置必須存在動能，所以箭必須是運動狀態。

這個悖論的問題在於，「飛行」的運動，是依賴於兩個時間點的。即從這一刻到那一刻的時間內，這支箭是否移動。

遊行隊伍悖論

首先假設在操場上，在一瞬間（一個最小時間單位）裡，相對於觀眾席Ａ，列隊Ｂ、Ｃ將分別各向右和左移動一個距離單位。

　ＡＡＡＡ　觀眾席Ａ

　ＢＢＢＢ　隊列Ｂ・・・向右移動（→）

　ＣＣＣＣ　隊列Ｃ・・・向左移動（←）

Ｂ、Ｃ兩個列隊開始移動，如下圖所示相對於觀眾席Ａ，Ｂ和Ｃ分別向右和左各移動了一個距離單位。

　ＡＡＡＡ

　　ＢＢＢＢ

ＣＣＣＣ

而此時，對B而言C移動了兩個距離單位。也就是，隊列既可以在一瞬間（一個最小時間單位）裡移動一個距離單位，也可以在半個最小時間單位裡移動一個距離單位，這就產生了半個時間單位等於一個時間單位的矛盾。因此隊列是移動不了的。

（四個悖論的敘述引自莫里斯·克萊因《古今數學思想》中譯本，Bill Smith對第四個悖論的原文作了修改以說得更清楚些。）

芝諾現象

在一個跟時間有關的系統中，如果牽涉到有限時間內，無限多次的操作，我們會稱之芝諾現象或芝諾行為。一個簡單的例子是球在地面上反彈到停止的過程。處理這個問題的方法，是直接假設停止的時間點，只考慮反彈，不去考慮無窮多次，以計算無窮多次反彈之後的結果。

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