虛數

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各種各樣的
基本

\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}

正數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^+ \end{smallmatrix}
自然數 \begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}
正整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^+ \end{smallmatrix}
小數
有限小數
無限小數
循環小數
有理數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}
代數數 \begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}
實數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}
複數 \begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}
高斯整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}

負數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^- \end{smallmatrix}
整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}
負整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^- \end{smallmatrix}
分數
單位分數
二進分數
規矩數
無理數
超越數
虛數
二次無理數
艾森斯坦整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}

延伸

雙複數
四元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}
共四元數
八元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}
超數
上超實數

超複數
十六元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}
複四元數
大實數
超實數 \begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}
超現實數

其他

對偶數
雙曲複數
序數
質數
同餘
可計算數
艾禮富數

公稱值
超限數
基數
P進數
規矩數
整數數列
數學常數

圓周率 \begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}
 = 3.141592653…
自然對數的底 \begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}
 = 2.718281828…
虛數單位 \begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}
 = \begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}
無窮大 \begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}

虛數,即平方負數的數;所有的虛數都是複數。「虛數」這個名詞是17世紀著名數學家笛卡爾創製,因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數可對應平面上的縱軸,與對應平面上橫軸的實數同樣真實。虛數軸和實數軸構成的平面稱複數平面,複平面上每一點對應著一個複數。

每一個虛數可表達為 ib\,,其中 b\,實數,虛數單位i\, 的定義是:

i^2 = -1\,

或者

i = +\sqrt{-1}\,

我們應該將根號視為求 x^2 的解,故將一個數開根號後會有兩個合理的值,此二值互相差一個負號。在將正數開根號時,這兩個值一為正數一為負數,故習慣上直接將根號對應到正值,而負值的解以根號前加負號來表示。但對其它的數而言開根號沒有自然的對應,\sqrt{-1} 實際上代表的是兩個數,分別為 +i-i。但若直接將 \sqrt{-1} 對應到+i,而 -\sqrt{-1} 對應到 -i 也未嘗不可。

i 稱為虛數單位。在電子學及相關領域內,i 通常表達電流,故改為以 j 表示虛數單位。每個複數可唯一地寫成一個實數及一個虛數的和。

i 的高次方會不斷作以下的循環:

i^0 = 1\,
i^1 = i\,
i^2 = -1\,
i^3 = -i\,


i^4 = 1\,
i^5 = i\,
i^6 = -1\,
i^7 = -i\,


...


[1]

由於虛數特殊的運算規則,出現了下列算式

i^1 + i^2 + i^3 + i^4 =0\,

這也暗示了i\, 為方程 x+x^2+x^3+x^4 = 0\, 的根,另三個根分別為  -i , -1\, 0\,

由於虛數特殊的運算規則,出現了符號

\omega^2 + \omega + 1 = 0\,
\omega^3 = 1\, 的簡式。

如果再將這個概念擴展開去,就可以組成四元數(Quaternion)、八元數(Octonion)等特殊數學範疇。

而不同的虛數都是不能比較大小的:

1<2\, 成立,但1+i<2+i\,i<2i\, 卻均不成立。

參看[編輯]

參考資料[編輯]

  1. ^ i^{7321}\,的計算方法舉例(英文視頻)

外部連結[編輯]

視頻講解(英文)[編輯]