虛數單位

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虛數單位 i\,\!複平面的位置。橫軸是實數,豎軸是虛數。

數學物理工程學裏,虛數單位標記為 i\,\!,在電機工程和相關領域中則標記為j\,,這是為了避免與電流(記為i(t)\,i\,)混淆。虛數單位的發明使實數系統 \mathbb{R}\,\! 能夠延伸至複數系統 \mathbb{C}\,\! 。延伸的主要動機為有很多實係數多項式方程式無實數解。例如方程式 x^2+1=0\,\! 就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數,那麼這方程式以及所有的多項式方程式都有解。

定義[編輯]

\ldots
i^{-3} = i\,\!
i^{-2} = -1\,\!
i^{-1} = -i\,\!
i^0 = 1\,\!
i^1 = i\,\!
i^2 = -1\,\!
i^3 = -i\,\!
i^4 = 1\,\!
i^5 = i\,\!
i^6 = -1\,\!
\ldots

虛數單位 i\,\! 定義為二次方程式 x^2 + 1 = 0\,\! 的兩個解答中的一個解答。這方程式又可等價表達為:

x^2 =  - 1\,\!

由於實數的平方絕不可能是負數,我們假設有這麼一個數目解答,給它設定一個符號 i\,\! 。很重要的一點是,i\,\! 是一個良定義的數學構造。

另外,虛數單位同樣可以表示為:

i = \sqrt{-1}\,

i = \sqrt{-1}\, 往往被誤認為是錯的,他們的證明的方法是:

因為 -1\,=i\cdot i=\left(\sqrt{-1}\right)\times\left(\sqrt{-1}\right)=\sqrt{\left(-1\right)\times\left(-1\right)}=\sqrt{1}=1\,,但是-1不等於1。
但請注意:\sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\, 成立的條件有a,b不能同時為負數。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時,我們只需要假設 i\,\! 是一個未知數,然後依照 i\,\! 的定義,替代任何 i^2\,\! 的出現為  - 1\,\!i\,\! 的更高整數冪數也可以替代為  - i\,\!1\,\! ,或 i\,\!,根據下述方程式:

i^3 = i^2 i = ( - 1) i = - i \,\!
i^4 = i^3 i = ( - i) i = - (i^2) = - ( - 1) = 1 \,\!
i^5 = i^4 i = (1) i = i \,\!

一般地,有以下的公式:

i^{4n} = 1\,
i^{4n+1} = i\,
i^{4n+2} = -1\,
i^{4n+3} = -i.\,
i^n = i^{n \bmod 4}\,

其中mod 4表示被4除的餘數

i和−i[編輯]

方程x^2 =  - 1\,\!有兩個不同的解,它們都是有效的,且互為共軛虛數倒數。更加確切地,一旦固定了方程的一個解i,那麼−i(不等於i)也是一個解,由於這個方程是i的唯一的定義,因此這個定義表面上有歧義。然而,只要把其中一個解選定,並固定為i,那麼實際上是沒有歧義的。這是因為,雖然−ii在數量上不是相等的(它們是一對共軛虛數),但是i和−i之間沒有質量上的區別(−1和+1就不是這樣的)。如果所有的數學書和出版物都把虛數或複數中的+i換成−i,而把−i換成−(−i) = +i,那麼所有的事實和定理都依然是正確的。

-i = \frac{-ii}{i}=\frac{1}{i}

正當的使用[編輯]

虛數單位有時記為\sqrt{-1}。但是,使用這種記法時需要非常謹慎,這是因為有些在實數範圍內成立的公式在複數範圍內並不成立:

-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1   (不正確)
-1 = i \cdot i = \pm \sqrt{-1} \cdot \pm \sqrt{-1} = \pm \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \pm \sqrt{1} = \pm 1   (不正確)
\frac{1}{i} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \sqrt{\frac{1}{-1}}  = \sqrt{-1} = i    (不正確)

公式\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}僅對於非負的實數ab才成立。

為了避免這種錯誤,盡量不要用平方根來表示虛數。例如,我們不應使用\sqrt{-7},而應使用\sqrt{7}i

i的運算[編輯]

虛數單位 i 的平方根在複平面的位置。

許多實數的運算都可以推廣到 i ,例如平方根對數三角函數

i平方根為:

 \pm \sqrt{i} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + i). [1]

其解法為先假設兩實數x及y,使得(x + iy)2 = i,求解x,y[2]

這是因為:

\left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + i) \right)^2 \ = \left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 (1 + i)^2 \
= (\pm 1)^2 \frac{1}{2} (1 + i)(1 + i) \
= \frac{1}{2} (1 + 2i + i^2) \quad \quad \quad  (i^2 = -1) \
= \frac{1}{2} + i - \frac{1}{2}  \
= i. \

以下運算均為與i有關的多值函數英語Multivalued-function,在實際應用時必須指明函數的定義選擇在黎曼面的哪一支。下面列出的僅僅是最常採用的黎曼面分支的計算結果。

一個數的ni次方為:

 \!\ x^{ni} = \cos \ln x^n + i \sin \ln x^n.

一個數的 ni 次方根為:

 \!\ \sqrt[ni]{x} = \cos \ln \sqrt[n]{x} - i \sin \ln \sqrt[n]{x}.

利用歐拉公式

i^i = \left( e^{i (\pi/2 + 2k \pi)} \right)^i = e^{i^2 (\pi/2 + 2k \pi)} = e^{- (\pi/2 + 2k \pi)}
其中k \in \mathbb{Z}

最小的解(k = 0)是e−π/2或近似值0.207879576...[3]

\mathbb{Z}代表整數集,代入不同的k值,可計算出無限多的解。

以i為底的對數為:

 \log_ix = {{2 \ln x} \over i\pi}.

i餘弦是一個實數

 \cos i = \cosh 1 = {{e + \frac{1}{e}} \over 2} = {{e^2 + 1} \over 2e}

i正弦純虛數

 \sin i = \, i\sinh 1  = {{e - \frac{1}{e}} \over 2} \, i = {{e^2 - 1} \over 2e} \, i

程式語言[編輯]

  • Matlab虛數單位的表示方法為ij,但ijfor迴圈可以有其他用途。
  • Maple,必須啟用虛數功能,並選擇用i還是j表示虛數單位

註解[編輯]

  1. ^ Maple中, \sqrt{i} = \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + i).
  2. ^ (University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? URL retrieved March 26, 2007.)
  3. ^ "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

  • Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

外部連結[編輯]