費馬大定理

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費馬大定理,也稱費馬最後定理法語Le dernier théorème de Fermat),其概要為:

整數n>2時,關於x, y, z不定方程

x^n + y^n =z^n.

沒有正整數解

以上陳述由17世紀法國數學家費馬提出,一直被稱為「費馬猜想」,直到英國數學家安德魯·懷爾斯(Andrew John Wiles)及其學生理查·泰勒(Richard Taylor)於1995年將他們的證明出版後,才稱為「費馬大定理」。這個猜想最初出現費馬的《頁邊筆記》中。儘管費馬同時表明他已找到一個絕妙的證明而頁邊沒有足夠的空位寫下,但仍然經過數學家們三個多世紀的努力,猜想才變成了定理。在衝擊這個數論世紀難題的過程中,無論是不完全的還是最後完整的證明,都給數學界帶來很大的影響;很多的數學結果、甚至數學分支在這個過程中誕生了,包括代數幾何中的橢圓曲線模形式,以及伽羅瓦理論赫克代數等。這也令人懷疑當初費馬是否真的找到了正確證明。而安德魯·懷爾斯由於成功證明此定理,獲得了2005年度邵逸夫獎

歷史[編輯]

1637年,費馬在閱讀丟番圖《算術》拉丁文譯本時,曾在第11卷第8命題旁寫道:

將一個立方數分成兩個立方數之和,或一個四次冪分成兩個四次冪之和,或者一般地將一個高於二次的冪分成兩個同次冪之和,這是不可能的。關於此,我確信已發現了一種美妙的證法 ,可惜這裡空白的地方太小,寫不下[1]

畢竟費馬沒有寫下證明,而他的其它猜想對數學貢獻良多,由此激發了許多數學家對這一猜想的興趣。數學家們的有關工作豐富了數論的內容,推動了數論的發展。

費馬大定理提出之後的二百年內,對很多不同的特定的n,費馬定理早被證明了。但對於一般情況,人們仍一籌莫展。

1908年,德國佛爾夫斯克宣布以10萬馬克作為獎金獎給在他逝世後一百年內,第一個證明該定理的人,吸引了不少人嘗試並遞交他們的「證明」。在一戰之後,馬克大幅貶值,該獎金的吸引力也大幅下降。

1983年,格爾德·法爾廷斯證明了莫德爾猜想Faltings' theorem)。作為推論,對於給定的整數n>2,至多存在有限組互質a,b,c使得a^n+b^n=c^n

1986年,Gerhard Frey 提出了「ε-猜想Epsilon conjecture)」:若存在a,b,c使得a^n+b^n=c^n,即如果費馬大定理是錯的,則橢圓曲線

y^2=x\left(x-a^n\right)\left(x+b^n\right)

會是谷山-志村猜想的一個反例。Frey的猜想隨即被Kenneth Ribet證實。此猜想顯示了費馬大定理與橢圓曲線及模形式的密切關係。

1995年,安德魯·懷爾斯理查·泰勒在一特例範圍內證明了谷山志村猜想,Frey的橢圓曲線剛好在這一特例範圍內,從而證明了費馬大定理。

懷爾斯證明費馬大定理的過程亦甚具戲劇性。他用了七年時間,在不為人知的情況下,得出了證明的大部分;然後於1993年6月在一個學術會議上宣佈了他的證明,並瞬即成為世界頭條。但在審批證明的過程中,專家發現了一個極嚴重的錯誤。懷爾斯和泰勒然後用了近一年時間嘗試補救,終在1994年9月以一個之前懷爾斯拋棄過的方法得到成功,這部分的證明與岩澤理論有關。他們的證明刊在1995年的《數學年刊》(Annals of Mathematics)之上。

年表[編輯]

1770年,歐拉證明n=3時定理成立[2]

1823年,勒壤得證明n=5時定理成立。

1995年,懷爾斯證明n>2時定理成立。

證明[編輯]

費馬大定理的證明涉及好幾個近代的數學分支,包括代數數論中的橢圓曲線模形式,以及群論中的伽羅瓦理論

參見[編輯]

參考資料[編輯]

  1. ^ 拉丁文原文: Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.
  2. ^ http://www.usacn.com/bmx/bmx028/nm02806.htm
  • Fermat's Enigma (previously published under the title Fermat's Last Theorem), by Simon Singh; Bantam Books; ISBN 0-8027-1331-9 (hardcover, September 1998)

外部連結[編輯]