轉動慣量

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走鋼絲者手裡端著長桿,為了靠轉動慣量保持平衡,對抗轉動運動。圖為撒姆爾·迪克森(Samuel Dixon)於1890年穿過尼加拉河的相片。

在經典力學中,轉動慣量又稱慣性矩(Moment of inertia),通常以IJ[1]表示,國際單位制基本單位為[kg]·[m2]。轉動慣量用以描述一個物體對於其旋轉運動的改變的對抗,是一個物體對於其旋轉運動的慣性。轉動慣量在轉動動力學中的角色相當於線性動力學中的質量,描述角動量角速度力矩角加速度等數個量之間的關係。

對於一個質點I=mr^2,其中m是其質量r是質點和轉軸的垂直距離。

對於一個有多個質點的系統,I = \sum_{i=1}^N {m_i r_i^2}

對於剛體,可以用無限個質點的轉動慣量和,即用積分計算其轉動慣量,I = \int {\rho r^2}dV,其中\rho是密度,dV是體積元。

如果一個質量為m的物件,以某條經過質心A點的直線為軸,其轉動慣量為I_A。在空間取點B,使得AB垂直於原本的軸。那麼如果以經過B、平行於原本的軸的直線為軸,AB的距離為d,則I_B = I_A + md^2

概念[編輯]

飛輪擁有很大的轉動慣量,可以用來使機械運轉順滑。

力矩[編輯]

在直線運動,F=ma。在旋轉運動,則有{\tau} = I{\alpha},其中{\tau}力矩{\alpha}角加速度

動能[編輯]

一般物件的動能K=\frac{1}{2} mv^2。將速度v和質量m,用轉動力學的定義取代:

v = \omega r
m = \frac{I}{r^2}

得出

K = \frac{1}{2} \left(\frac{I}{r^2}\right)(\omega r)^2

簡化得

K = \frac{1}{2} I \omega^2

如果一個人坐在一張可轉動的椅子,雙手拿重物,張開雙手,轉動椅子,然後突然將手縮到胸前,轉動的速度將突然增加,因為轉動慣量減少了。

慣性張量[編輯]

對於三維空間中任意一參考點Q與以此參考點為原點的直角坐標系Qxyz,一個剛體的慣性張量\mathbf{I}\,\!

\mathbf{I} = \begin{bmatrix}
I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\
I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\
I_{zx} & I_{zy} & I_{zz}\end{bmatrix}\,\!(1)

這裡,矩陣的對角元素I_{xx}\,\!I_{yy}\,\!I_{zz}\,\!分別為對於x-軸、y-軸、z-軸的轉動慣量。設定(x,\ y,\ z)\,\!為微小質量dm\,\!對於點Q的相對位置。則這些轉動慣量以方程式定義為

I_{xx}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int\ y^2+z^2\ dm\,\!
I_{yy}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int\ x^2+z^2\ dm\,\!(2)
I_{zz}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int\ x^2+y^2\ dm\,\!

矩陣的非對角元素,稱為慣量積,以方程式定義為

I_{xy}=I_{yx}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \int\ xy\ dm\,\!
I_{xz}=I_{zx}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \int\ xz\ dm\,\!(3)
I_{yz}=I_{zy}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \int\ yz\ dm\,\!

導引[編輯]

圖A

如圖A,一個剛體對於質心G與以點G為原點的直角座標系Gxyz的角動量\mathbf{L}_G\,\!定義為

\mathbf{L}_G=\int\ \mathbf{r}\times\mathbf{v}\ dm\,\!

這裡,\mathbf{r}\,\!代表微小質量dm\,\!在Gxyz座標系的位置,\mathbf{v}\,\!代表微小質量的速度。因為速度是角速度\boldsymbol{\omega}\,\!叉積位置,所以,

\mathbf{L}_G=\int\ \mathbf{r}\times(\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r})\ dm\,\!

計算x-軸分量,

\begin{align}
L_{Gx} &= \int\ y(\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r})_z - z(\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r})_y\ dm\\ 
               &=\int\ y\omega_x y - y\omega_y x+z\omega_x z - z\omega_z x\ dm\\ 
               &=\int\ \omega_x(y^2+z^2) - \omega_y xy - \omega_z xz\ dm\\ 
               &=\omega_x\int\ y^2+z^2\ dm - \omega_y\int\ xy\ dm - \omega_z \int\ xz\ dm\ .
\end{align}\,\!

相似地計算y-軸與z-軸分量,角動量為

L_{Gx}=\omega_x\int\ y^2+z^2\ dm - \omega_y\int\ xy\ dm - \omega_z\int\ xz\ dm \,\!
L_{Gy}= - \omega_x\int\ xy\ dm+\omega_y\int\ x^2+z^2\ dm - \omega_z \int\ yz\ dm \,\!
L_{Gz}= - \omega_x\int\ xz\ dm - \omega_y\int\ yz\ dm+\omega_z\int\ x^2+y^2\ dm\,\!

如果,我們用方程式(1)設定對於質心G的慣性張量\mathbf{I}_G\,\!,讓角速度\boldsymbol{\omega}\,\!(\omega_x\;,\;\omega_y\;,\;\omega_z)\,\!,那麼,

\mathbf{L}_G=\mathbf{I}_G\ \boldsymbol{\omega}\,\!(4)

平行軸定理[編輯]

平行軸定理能夠很簡易的,從對於一個以質心為原點的座標系統的慣性張量,轉換至另外一個平行的座標系統。假若已知剛體對於質心G的慣性張量\mathbf{I}_G\,\!,而質心G的位置是(\bar{x},\ \bar{y},\ \bar{z})\,\!,則剛體對於原點O的慣性張量\mathbf{I}\,\!,依照平行軸定理,可以表述為

I_{xx}=I_{G,xx}+m(\bar{y}^2+\bar{z}^2)\,\!
I_{yy}=I_{G,yy}+m(\bar{x}^2+\bar{z}^2)\,\!(5)
I_{zz}=I_{G,zz}+m(\bar{x}^2+\bar{y}^2)\,\!
I_{xy}=I_{yx}=I_{G,xy} - m\bar{x}\bar{y}\,\!
I_{xz}=I_{zx}=I_{G,xz} - m\bar{x}\bar{z}\,\!(6)
I_{yz}=I_{zy}=I_{G,yz} - m\bar{y}\bar{z}\,\!

證明:

圖B

a)參考圖B,讓(x\,',\ y\,',\ z\,')\,\!(x,\ y,\ z)\,\!分別為微小質量dm\,\!對質心G與原點O的相對位置:

y=y\,'+\bar{y}\,\!z=z\,'+\bar{z}\,\!

依照方程式(2),

I_{G,xx}=\int\ y\,'\,^2+z\,'\,^2\ dm\,\!
I_{xx}=\int\ y^2+z^2\ dm\,\!

所以,

\begin{align}
I_{xx}&=\int\ (y\,'+\bar{y})^2+(z\,'+\bar{z})^2\ dm\\
&=I_{G,xx}+m(\bar{y}^2+\bar{z}^2)\ . \\
\end{align}\,\!

相似地,可以求得I_{yy}\,\!I_{zz}\,\!的方程式。

b)依照方程式(3),

I_{G,xy}= - \int\ x\,'y\,'\ dm\,\!
I_{xy}= - \int\ xy\ dm\,\!

因為x=x\,'+\bar{x}\,\!y=y\,'+\bar{y}\,\!,所以

\begin{align}
I_{xy}&= - \int\ (x\,'+\bar{x})(y\,'+\bar{y})\ dm \\
&=I_{G,xy} - m\bar{x}\bar{y}\ . \\
\end{align}\,\!

相似地,可以求得對於點O的其他慣量積方程式。

對於任意軸的轉動慣量[編輯]

圖C

參視圖C,設定點O為直角座標系的原點,點Q為三維空間裏任意一點,Q不等於O。思考一個剛體,對於OQ-軸的轉動慣量是

I_{OQ}\ =\int\ \rho^2 \ dm\ =\ \int \ \left| \boldsymbol{\eta}\times\mathbf{r}\right|^2 \ dm\,\!

這裡,\rho\,\!是微小質量dm\,\!離OQ-軸的垂直距離,\boldsymbol{\eta}\,\!是沿著OQ-軸的單位向量\mathbf{r}=(x,\ y,\ z)\,\!是微小質量dm\,\!的位置。

展開叉積,

I_{OQ}=\int\ (\eta_yz - \eta_zy)^2+(\eta_xz - \eta_zx)^2+(\eta_xy - \eta_yx)^2\ dm\,\!

稍微加以編排,

\begin{align}
 I_{OQ}= & \eta_x^2\int\ y^2+z^2\ dm+\eta_y^2\int\ x^2+z^2\ dm+\eta_z^2\int\ x^2+y^2\ dm \\
         & - 2\eta_x\eta_y\int\ xy\ dm - 2\eta_x\eta_z\int\ xz\ dm - 2\eta_y\eta_z\int\ yz\ dm\ .\\
\end{align}\,\!

特別注意,從方程式(2)、(3),這些積分項目,分別是剛體對於x-軸、y-軸、z-軸的轉動慣量與慣量積。因此,

I_{OQ}=\eta_x^2I_{xx}+\eta_y^2I_{yy}+\eta_z^2I_{zz}+2\eta_x\eta_yI_{xy}+2\eta_x\eta_zI_{xz}+2\eta_y\eta_zI_{yz}\,\!(7)

如果已經知道,剛體對於直角座標系的三個座標軸,x-軸、y-軸、z-軸的轉動慣量。那麼,對於OQ-軸的轉動慣量,可以用此方程式求得。

主轉動慣量[編輯]

因為慣性張量\mathbf{I}\,\!是個實值的三維對稱矩陣,我們可以用對角線化,將慣量積變為零,使慣性張量成為一個對角矩陣[2]。所得到的三個特徵值必是正實值;三個特徵向量必定互相正交

換另外一種方法,我們需要解析特徵方程式

\mathbf{I}\ \boldsymbol{\omega}=\lambda\;\boldsymbol{\omega}\,\!(8)

也就是以下行列式等於零的的三次方程式

\mathbf{I} = \begin{vmatrix}
I_{xx} - \lambda & I_{xy} & I_{xz} \\
I_{yx} & I_{yy} - \lambda & I_{yz} \\
I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} - \lambda \end{vmatrix}\,\!

這方程式的三個根\lambda_1\,\!\lambda_2\,\!\lambda_3\,\!都是正實的特徵值。將特徵值代入方程式(8),再加上方向餘弦方程式,

\omega_x^2+\omega_y^2+\omega_z^2=1\,\!

我們可以求到特徵向量\hat{\boldsymbol{\omega}}_1\,\!\hat{\boldsymbol{\omega}}_2\,\!\hat{\boldsymbol{\omega}}_3\,\!。這些特徵向量都是剛體的慣量主軸;而這些特徵值則分別是剛體對於慣量主軸的主轉動慣量

假設x-軸、y-軸、z-軸分別為一個剛體的慣量主軸,這剛體的主轉動慣量分別為I_{x}\,\!I_{y}\,\!I_{z}\,\!,角速度是\boldsymbol{\omega}\,\!。那麼,角動量為

\mathbf{L}=(I_x\omega_x\;,\;I_y\omega_y\;,\;I_z\omega_z)\,\!

動能[編輯]

剛體的動能K\,\!可以定義為

K=\frac{1}{2}m\bar{v}^2+\frac{1}{2}\int\ v^2\ dm\,\!

這裡,\bar{v}\,\!是剛體質心的速度,v\,\!是微小質量dm\,\!相對於質心的速度。在方程式裏,等號右邊第一個項目是剛體平移運動的動能,第二個項目是剛體旋轉運動的動能K\,\!'\,\!。由於這旋轉運動是繞著質心轉動的,

K\,\!'=\frac{1}{2}\int\ (\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})\cdot(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})\ dm\,\!

這裡,\boldsymbol{\omega}\,\!是微小質量dm\,\!繞著質心的角速度,\mathbf{r}\,\!dm\,\!對於質心的相對位置。

應用向量恆等式,可以得到

K\,\!'=\frac{1}{2}\boldsymbol{\omega}\cdot \int\ \mathbf{r}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})\ dm =\frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{L}\,\!

或者,用矩陣來表達,

K\,\!'=\frac{1}{2}\boldsymbol{\omega}^T\ \mathbf{I}\ \boldsymbol{\omega}\,\!

所以,剛體的動能為

K=\frac{1}{2}m\bar{v}^2+\frac{1}{2}(I_{xx}{\omega_x}^2+I_{yy}{\omega_y}^2+I_{zz}{\omega_z}^2+2I_{xy}\omega_x\omega_y+2I_{xz}\omega_x\omega_z+ 2I_{yz}\omega_y\omega_z)\,\!(9)

假設x-軸、y-軸、z-軸分別為一個剛體的慣量主軸,這剛體的主轉動慣量分別為I_{x}\,\!I_{y}\,\!I_{z}\,\!,角速度是\boldsymbol{\omega}\,\!。那麼,剛體的動能為

K=\frac{1}{2}m\bar{v}^2+\frac{1}{2}(I_{x}{\omega_x}^2+I_{y}{\omega_y}^2+I_{z}{\omega_z}^2)\,\!(10)

計算[編輯]

細長棒子的轉動慣量是\begin{smallmatrix} \frac{1}{12}\, m\ell^2 \end{smallmatrix}
當自轉軸移到末端,轉動慣量是\begin{smallmatrix} \frac{1}{3}\, m\ell^2 \end{smallmatrix}

利用線密度\begin{smallmatrix} \lambda=\frac{m}{\ell} \end{smallmatrix}
可輕易計算出細長棒子沿質心(CM)自轉的轉動慣量。

\begin{smallmatrix} m = \lambda x \end{smallmatrix}
\begin{smallmatrix} dm =\lambda dx \end{smallmatrix}
I_{CM} = \int r^2 dm = \lambda \int_{-\ell/2}^{\ell/2} x^2 dx = \frac{m}{\ell}\ (\frac{1}{3} x^3)\bigg|_{-\ell/2}^{\ell/2} = \frac{1}{12}\, m\ell^2

當自轉軸移到末端,轉動慣量變成:

I_{end} = \int r^2 dm = \lambda \int_{0}^{\ell} x^2 dx = \frac{m}{\ell}\ (\frac{1}{3} x^3)\bigg|_{0}^{\ell} = \frac{1}{3}\, m\ell^2
I_{end} = I_{CM} + M D^2 = \frac{1}{12}\, m\ell^2 + m(\frac{\ell}{2})^2 = \frac{1}{3}\, m\ell^2

參閱[編輯]

參考文獻[編輯]

  1. ^ 普通物理學(修訂版,化學數學專業用)。汪昭義主編。華東師範大學出版社.P81.三、轉動慣量.ISBN:978-7-5617-0444-8/N·018
  2. ^ O'Nan, Michael. Linear Algebra. USA: Harcourt Brace Jovanovich, Inc. 1971: pp。361. ISBN 0-15-518558-6 (英文). 
  • Beer, Ferdinand; E. Russell Johnston, Jr., William E. Clausen (2004). Vector Mechanics for Engineers. 7th edition. USA: McGraw-Hill, ISBN 0-07-230492-8

外部連結[編輯]