轉置矩陣

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線性代數
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩陣  · 行列式  · 線性空間

線性代數中,矩陣A轉置是另一個矩陣AT(也寫做Atr, tAA′)由下列等價動作建立:

  • A的橫行寫為AT的縱列
  • A的縱列寫為AT的橫行

形式上說,m × n矩陣A的轉置是n × m矩陣

A^\mathrm{T}_{ij} = A_{ji} for  1 \le i \le n, 1 \le j \le m

注意:\mathbf{A}^{T}(轉置矩陣)與\mathbf{A}^{-1}逆矩陣)不同。

例子[編輯]

  • \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
2 & 4 \end{bmatrix}
  • \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5\\
2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;

性質[編輯]

對於矩陣A, B和純量c轉置有下列性質:

  • \left( A^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{T} = A \quad
轉置是自身逆運算
  • (A+B) ^\mathrm{T} = A^\mathrm{T} + B^\mathrm{T}
轉置是從m × n矩陣的向量空間到所有n × m矩陣的向量空間的線性映射
  • \left( A B \right) ^\mathrm{T} = B^\mathrm{T} A^\mathrm{T}
注意因子反轉的次序。以此可推出方塊矩陣A可逆矩陣,若且唯若AT是可逆矩陣,在這種情況下有 (A−1)T = (AT)−1。相對容易的把這個結果擴展到矩陣相乘的一般情況,可得出 (ABC...XYZ)T = ZTYTXT...CTBTAT
  • (c A)^\mathrm{T} = c A^\mathrm{T}
純量的轉置是同樣的純量。
  • \det(A^\mathrm{T}) = \det(A)
矩陣的轉置矩陣的行列式等於這個矩陣的行列式。
  • 兩個縱列向量ab點積可計算為
 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b},

特殊轉置矩陣[編輯]

其轉置等於自身的方塊矩陣叫做對稱矩陣;就是說A是對稱的,如果

A^{\mathrm{T}} = A

其轉置也是它的逆矩陣的方塊矩陣叫做正交矩陣;就是說G是正交的,如果

G G^\mathrm{T} = G^\mathrm{T} G = I_n , \, I單位矩陣

其轉置等於它的負矩陣的方塊矩陣叫做斜對稱矩陣;就是A是斜對稱的,如果

A^{\mathrm{T}} = -A

複數矩陣A共軛轉置,寫為AH,是A的轉置後再取每個元素的共軛複數:

A^H = (\overline{A})^{\mathrm{T}} = \overline{(A^{\mathrm{T}})}

線性映射的轉置[編輯]

如果f: VW是在向量空間V和W之間非退化雙線性形式線性映射,我們定義f的轉置為線性映射tf : WV,確定自

B_V(v,{}^tf(w))=B_W(f(v),w) \quad \forall\ v \in V, w \in W

這裡的,BVBW分別是在VW上的雙線性形式。一個映射的轉置的矩陣是轉置矩陣,只要是關於它們的雙線性形式是正交的。

在復向量空間上,經常用到半雙線性形式來替代雙線性形式。在這種空間之間的映射的轉置可類似的定義,轉置映射的矩陣由共軛轉置矩陣給出,如果基是正交的。在這種情況下,轉置也叫做埃爾米特伴隨

如果VW沒有雙線性形式,則線性映射f: VW的轉置只能定義為在對偶空間WV之間的線性映射 tf : W*V*

外部連結[編輯]