辛普森積分法

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微積分學
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函數 · 導數 · 微分 · 積分

辛普森法則(Simpson's rule)是一種數值積分方法,是牛頓-寇次公式的特殊形式,以二次曲線逼近的方式取代矩形或梯形積分公式,以求得定積分的數值近似解。其近似值如下:

 \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]

該方法係由英格蘭湯馬士·辛普森所創立。

簡化公式[編輯]

V=\frac{h (a+4b+c)}{6}

  • h是立體(常指擬柱體)的高度
  • a是下底面積
  • b是中間截面面積(在一半高度上的截面面積)
  • c是上底面積
稜柱和圓柱(a=b=c

V=\frac{h (a+4b+c)}{6}=\frac{h \cdot 6a}{6}=ha(稜柱和圓柱的體積=底面積*高)

稜錐和圓錐(a=2b,c=0)

V=\frac{h(a+4b+c)}{6}=\frac{h(a+\frac{4a}{4}+0)}{6}=\frac{ah}{3}

(稜錐和圓錐的面積=等底、等高的圓柱、稜柱體積的1/3)

圓台

V=\frac{h(a+4b+c)}{6}=\frac{\pi h(R^2+Rr+r^2)}{3}

球體

V=\frac{h(a+4b+c)}{6}=\frac{2R(0+4\pi R^2+0)}{6}=\frac{4\pi R^3}{3}

公式還可以用於計算平面形面積例如:平行四邊形、梯形、三角形……

平行四邊形(正方形、矩形等)

S=\frac{h(a+4b+c)}{6}=ah

(平行四邊形的面積等於底乘高)

梯形

S=\frac{h(a+4b+c)}{6}=\frac{h(a+c)}{2}

三角形

S=\frac{h(a+4b+c)}{6}=\frac{ah}{2}

參見[編輯]