逆矩陣

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提示:本條目的主題不是轉置矩陣
線性代數
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩陣  · 行列式  · 線性空間

逆矩陣(英語inverse matrix:在線性代數中,給定一個 n方陣 \mathbf{A},若存在一 n 階方陣\mathbf{B},使得 \mathbf{AB}=\mathbf{BA}=\mathbf{I}_n,其中\mathbf{I}_nn單位矩陣,則稱\mathbf{A} 可逆的,且 \mathbf{B}\mathbf{A}逆矩陣,記作\mathbf{A}^{-1}

只有正方形(n×n)的矩陣,亦即方陣,才可能、但非必然有逆矩陣。若方陣\mathbf{A}的逆矩陣存在,則稱\mathbf{A}非奇異方陣或可逆方陣。

與行列式類似,逆矩陣一般常用於求解包含數個變數的數學方程式。

求法[編輯]

伴隨矩陣法[編輯]

如果矩陣A可逆,則A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}其中A^*A伴隨矩陣

注意:A^*中元素的排列特點是A^*的第k元素是A的第k元素的代數餘子式。要求得A^*即為求解A余因子矩陣轉置矩陣

初等變換法[編輯]

如果矩陣AB互逆,則AB=BA=I。由條件AB=BA以及矩陣乘法的定義可知,矩陣AB都是方陣。再由條件AB=I以及定理「兩個矩陣的乘積的行列式等於這兩個矩陣的行列式的乘積」可知,這兩個矩陣的行列式都不為0。也就是說,這兩個矩陣的秩等於它們的級數(或稱為階,也就是說,A與B都是n\times n方陣,且rank(A) = rank(B) = n)。換句話說,這兩個矩陣可以只經由初等行變換,或者只經由初等列變換,變為單位矩陣。

因為對矩陣A施以初等行變換(初等列變換)就相當於在A的左邊(右邊)乘以相應的初等矩陣,所以我們可以同時對AI施以相同的初等行變換(初等列變換)。這樣,當矩陣A被變為I時,I就被變為A的逆陣B

廣義逆陣[編輯]

廣義逆陣又稱偽逆,是對逆陣的推廣。一般所說的偽逆是指Moore-Penrose偽逆,它是由E. H. Moore和Roger Penrose分別獨立提出的。偽逆在求解線性最小二乘問題中有重要應用。

用MS Excel求逆矩陣[編輯]

  1. 輸入n\times n的矩陣值,例如在(A1:B2)輸入
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
  2. 在工作表中【選取】(反白)另一塊大小也是n\times n的空白格;
  3. 找到指令【公式】→【數學與三角函數】→【MINVERSE】(意為Matrix Inverse);
  4. 在【MINVERSE】→【函數引數】→【Array(=陣列)】中點一下滑鼠,然後選取一開始已輸入值的矩陣(A1:B2);
  5. 同時按下Ctrl Shift Enter,使已選取的空白格成為使用同一公式之矩陣;
  6. 便會得到逆矩陣
\begin{bmatrix}
-2 & 1 \\
1.5 & -0.5 \end{bmatrix}

參見[編輯]

外部連結[編輯]