配方法

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配方法是一種代數的計算技巧,可以用來解二次方程式、判別解析幾何中某些方程式的圖形,或者用來計算微積分中的某些積分型式。配方法最主要的目的就是將一個一元二次方程式多項式化為一個一次式的完全平方,以便簡化計算。

將下方左邊的二次式化成右邊的形式,就是配方法的目標:

ax^2 + bx + c = a(\cdots\cdots)^2 + \mbox{k} ,其中 k 是某常數

簡介[編輯]

基本代數中,配方法是一種用來把二次多項式化為一個一次多項式的平方與一個常數的和的方法。這種方法是把以下形式的多項式

a x^2 + b x\,\!

化為

(c x + d)^2 + e\,\!

以上表達式中的係數abcde本身也可以是表達式,可以含有除x以外的變數。

配方法通常用來推導出二次方程的求根公式:

\begin{align}
  ax^2+bx+c &{}= 0\\
  ax^2+bx &{}= -c\\
  x^2 + \left( \frac{b}{a} \right) x &{}= -\frac{c}{a}\\
\end{align}

我們的目的是要把方程的左邊化為完全平方。由於問題中的完全平方具有(x + y)2 = x2 + 2xy + y2的形式,可推出2xy = (b/a)x,因此y = b/2a。等式兩邊加上y2 = (b/2a)2,可得:

\begin{align}
  x^2 + \frac{b}{a} x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 &{}= \left(\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{c}{a} \\
  \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 &{}=  \frac{b^2-4ac}{4a^2}\\
  x + \frac{b}{2a} &{}= \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
  x &{}= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align}

這個表達式稱為二次方程的求根公式

幾何學的觀點[編輯]

考慮把以下的方程配方:

x^2 + bx = a.\,

由於x^2表示邊長為x的正方形的面積,bx表示邊長為bx的矩形的面積,因此配方法可以視為矩形的操作。

如果嘗試把矩形x^2和兩個\frac{b}{2}x合併成一個更大的正方形,這個正方形還會缺一個角。把以上方程的兩端加上\left( \frac{b}{2} \right)^2,正好是欠缺的角的面積,這就是「配方法」的名稱的由來。[1]

一般公式[編輯]

描述[編輯]

為了得到

a x^2 + b x = (c x + d)^2 + e , \,\!

我們必須設


\begin{align}
  c &{}= \sqrt{a} ,\\
  d &{}= \frac{b}{2\sqrt{a}} ,\\
  e &{}= -d^2\\
    &{}= -\left(\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)^2\\
    &{}= -\frac{b^2}{4a} .
\end{align}

得出:

a x^2 + b x = \left(\sqrt{a}\,x + \frac{b}{2 \sqrt{a}}\right)^2 - 
                    \frac{b^2}{4a} . \,\!

證明[編輯]

注意

\left(cx + d\right)^2 + e = c^2 x^2 + 2cdx + d^2 + e .

為了把

c^2 x^2 + 2cdx + d^2 + e\!

化為ax^2 + bx + f \!的形式,我們必須進行以下的代換:


\begin{align}
  a &{}= c^2 ,\\
  b &{}= 2cd ,\\
  f &{}= d^2 + e .
\end{align}

現在,abf依賴於cde,因此我們可以把cdeabf來表示:


\begin{align}
  c &{}= \pm \sqrt{a} ,\\
  d &{}= \frac{b}{2c}\\
    &{}= \pm \frac{b}{2\sqrt{a}} ,\\
  e &{}= f - d^2\\
    &{}= f - \frac{b^2}{4a}
\end{align}

若且唯若f等於零且a是正數時,這些方程與以上是等價的。如果a是負數,那麼cd的表達式中的±號都表示負號──然而,如果cd都是負數的話,那麼(cx+d)^2的值將不受影響,因此±號是不需要的。

例子[編輯]

具體例子[編輯]

\begin{align}5x^2 + 7x - 6 &{}= 5\left(x^2 + {7 \over 5}x\right) -6 \\
&{}= 5\left(x^2 + {7 \over 5}x +\left({7 \over 10}\right)^2\right) - 6 - 5\left({7 \over 10}\right)^2 \\
&{}= 5\left(x + {7 \over 10}\right)^2 - 6 - {7^2 \over 2\cdot 10}  \\
&{}= 5\left(x + {7 \over 10}\right)^2 - {6\cdot 20 + 7^2 \over 20} \\
&{}= 5\left(x + {7 \over 10}\right)^2 - {169 \over 20}.
\end{align}

從中我們可以求出多項式為零時x的值,也就是多項式的


\begin{align}
5x^2 + 7x - 6 &{}= 0\\
5\left(x + {7 \over 10}\right)^2 - {169 \over 20} &{}= 0\\
\left(x + {7 \over 10}\right)^2 &{}= {169 \over 100}\\ &{}= \left({13 \over 10}\right)^2\\
x + {7 \over 10} &{}= \pm {13 \over 10}\\
x &{}= {-7 \pm 13 \over 10}\\ &{}= {3 \over 5}\mbox{ or }-2.
\end{align}

我們也可以求出x取得什麼值時,以下的多項式為最大值或最小值:

y = 5x^2 + 7x - 6 , \,\!

最高次數的項x2的係數為正,因此x的絕對值越大,y就越大。但是,y有一個最小值,在任何地方都不能比它更小。從完全平方的形式中,

y = 5\left(x + \frac{7}{10}\right)^2 - \frac{169}{20} ,

我們可以看到,如果

x = -{7 \over 10} ,

那麼y = −169/20 = −8.45;但如果x是任何其它的數,y都是−169/20加上一個非零的平方數。由於非零實數的平方都是正數,因此當x不為−7/10時,y 一定大於 −8.45。所以,(xy) = (−7/10, −169/20) = (−0.7, −8.45)就y的最小值。

微積分例子[編輯]

假設我們要求出以下函數的原函數

\int\frac{1}{9x^2-90x+241}\,dx.\,\!

這可以用把分母配方來完成。分母是:

9x^2-90x+241=9(x^2-10x)+241.\,\!

把兩邊x2−10x加上(10/2)2 = 25,就可以得到一個完全平方,x2 − 10x + 25 = (x − 5)2。分母變為:


\begin{align}
  9(x^2-10x)+241 &{}=9(x^2-10x+25)+241-9(25)\\
                 &{}=9(x-5)^2+16 .
\end{align}

因此積分為:


\begin{align}
  \int\frac{1}{9x^2-90x+241}\,dx &{}=\frac{1}{9}\int\frac{1}{(x-5)^2+(4/3)^2}\,dx\\
                              &{}=\frac{1}{9}\cdot\frac{3}{4}\arctan\frac{3(x-5)}{4}+C .
\end{align}

複數例子[編輯]

考慮以下的表達式:

 |z|^2 - b^*z - bz^* + c,\,

其中zb複數z*b*分別是zb共軛複數c是一個實數。利用恆等式|u|2 = uu*,我們可以把它寫成:

 |z-b|^2 - |b|^2 + c , \,\!

這顯然是一個實數。這是因為:


\begin{align}
  |z-b|^2 &{}=  (z-b)(z-b)^*\\
          &{}=  (z-b)(z^*-b^*)\\
          &{}= zz^* - zb^* - bz^* + bb^*\\
          &{}=  |z|^2 - zb^* - bz^* + |b|^2 .
\end{align}

作為另外一個例子,以下的表達式

 ax^2 + by^2 + c , \,\!

其中abcxy是實數,a > 0且b > 0,可以用一個複數的絕對值的平方來表示。定義

 z = \sqrt{a}\,x + i \sqrt{b} \,y .

那麼:


\begin{align}
  |z|^2 &{}= z z^*\\
        &{}= (\sqrt{a}\,x + i \sqrt{b}\,y)(\sqrt{a}\,x - i \sqrt{b}\,y) \\
        &{}= ax^2 - i\sqrt{ab}\,xy + i\sqrt{ba}\,yx - i^2by^2 \\
        &{}= ax^2 + by^2 ,
\end{align}

因此:

 ax^2 + by^2 + c = |z|^2 + c . \,\!

方法的變化[編輯]

通常配方法是把第三項v 2加在

u^2 + 2uv\,

得出一個平方。我們也可以把中間的項(2uv或−2uv)加在以下的多項式,

u^2 + v^2\,

得出一個平方。

例子:正數與它的倒數的和[編輯]

從以下的恆等式中,


\begin{align}
x + {1 \over x} &{} = \left(x - 2 + {1 \over x}\right) + 2\\
                &{}= \left(\sqrt{x} - {1 \over \sqrt{x}}\right)^2 + 2
\end{align}

我們可以看出,正數x與它的倒數的和總是大於或等於2。

例子:分解四次多項式[編輯]

假設我們要把以下的四次多項式分解:

x^4 + 324 . \,\!

也就是:

(x^2)^2 + (18)^2, \,\!

因此中間的項是2(x2)(18) = 36x2。所以,我們有:

\begin{align} x^4 + 324 &{}= (x^4 + 36x^2 + 324 ) - 36x^2  \\
&{}= (x^2 + 18)^2 - (6x)^2 \\
&{}= (x^2 + 18 + 6x)(x^2 + 18 - 6x) \\
&{}= (x^2 + 6x + 18)(x^2 - 6x + 18)
\end{align}

最後一個步驟是把所有的項按降冪方式排列。

參考文獻[編輯]

外部連結[編輯]