階梯形矩陣

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線性代數中,矩陣行階梯形矩陣(Row-Echelon Form),如果:

  • 所有非零列(矩陣的行至少有一個非零元素)在所有全零列的上面。即全零列都在矩陣的底部。
  • 非零列的首項係數(leading coefficient),也稱作主元, 即最左邊的首個非零元素,嚴格地比上面列的首項係數更靠右。
  • 首項係數所在行,在該首項係數下面的元素都是零 (前兩條的推論).

這個3×4矩陣是行階梯形矩陣:


\left[ \begin{array}{ccc|c}
1 & a_1 & a_2 & a_3 \\
0 & 1 & a_4 & a_5 \\
0 & 0 & 1 & a_6
\end{array} \right]


化簡後的行階梯形矩陣(reduced row echelon form), 也稱作行規範形矩陣(row canonical form),如果滿足額外的條件:

  • 每個首項係數是1,且是其所在行的唯一的非零元素。例如:


\left[ \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & b_1 \\
0 & 1 & 0 & b_2 \\
0 & 0 & 1 & b_3
\end{array} \right]


注意,這並不意味著化簡後的行階梯形矩陣的左部總是單位陣. 例如,如下的矩陣是化簡後的行階梯形矩陣:


\left[ \begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 1/2  & 0 & b_1 \\
0 & 1 & -1/3 & 0 & b_2 \\
0 & 0 & 0    & 1 & b_3
\end{array} \right]

因為第3列並不包含任何列的首項係數.

矩陣變換到行階梯形[編輯]

通過有限步的行初等變換, 任何矩陣可以變換為行階梯形。由於行初等變換保持了矩陣的行空間, 因此行階梯形矩陣的行空間與變換前的原矩陣的行空間相同。

行階梯形的結果並不是唯一的。例如,行階梯形乘以一個純量係數仍然是行階梯形。但是,可以證明一個矩陣的化簡後的行階梯形是唯一的。

線性方程組[編輯]

一個線性方程組行階梯形,如果其增廣矩陣是行階梯形. 類似的,一個線性方程組是簡化後的行階梯形或'規範形,如果其增廣矩陣是化簡後的行階梯形.

一些示例[編輯]

定義: 
\left[ \begin{array}{ccc|c}
1 & a_1 & a_2 & a_3 \\
0 & 1 & a_4 & a_5 \\
0 & 0 & 1 & a_6
\end{array} \right]

例子: 
\left[ \begin{array}{cccc}
1 & 8 & 9 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1 
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 3 & -5 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 7
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cccc}
1 & -6 & 33 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 
\end{array} \right]

錯誤示例: 
\left[ \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & -8 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 1 & 26
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & -29 & 3 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & 1 & 2 \\
1 & 6 & 7 \\
0 & 0 & 1 
\end{array} \right]

註:

·矩陣1.第二行的第一非零項1的下方的行項不全為零(有非零項4),見定義第二條,所以不是階梯型矩陣;

·矩陣2.全為零的列應該在非全為零列的下方,見定義第三條,所以不是階梯型矩陣;

·矩陣3.k+1列比k列的第一個非零項之前的0少,見定義第三條,所以不是階梯型矩陣。


簡化後的行階梯形矩陣的例子: 
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cccccc}
1 & 9 & 0 & 5 & 0 & 17 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 32 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{array} \right]


參見[編輯]

參考來源[編輯]

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