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阻尼

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一個有阻尼的彈簧振子振動示意圖。從振動形式看,這是一個欠阻尼體系。

阻尼英語damping)是指任何振動系統在振動中,由於外界作用(如流體阻力摩擦力等)和/或系統本身固有的原因引起的振動幅度逐漸下降的特性,以及此一特性的量化表徵。

概述[編輯]

物理學工程學上,阻尼的力學模型一般是一個與振動速度大小成正比,與振動速度方向相反的,該模型稱為黏性(或黏性阻尼模型,是工程中應用最廣泛的阻尼模型。黏性阻尼模型能較好地模擬空氣流體對振動的阻礙作用。本條目以下也主要討論黏性阻尼模型。然而必須指出的是,自然界中還存在很多完全不滿足上述模型的阻尼機制,譬如在具有恆定摩擦係數的桌面上振動的彈簧振子,其受到的阻尼力就僅與自身重量和摩擦係數有關,而與速度無關。

除簡單的力學振動阻尼外,阻尼的具體形式還包括電磁阻尼、介質阻尼、結構阻尼,等等。儘管科學界目前已經提出了許多種阻尼的數學模型,但實際系統中阻尼的物理本質仍極難確定。下面僅以力學上的黏性阻尼模型為例,作一簡單的說明。

黏性阻尼可表示為以下式子:


\bold{F} = -c \bold{v}
其中F表示阻尼力,v表示振子的運動速度(向量),c 是表徵阻尼大小的常數,稱為阻尼係數國際單位制單位為牛頓·秒/米。

上述關係類比於電學中定義電阻歐姆定律

在日常生活中阻尼的例子隨處可見,一陣大風過後搖晃的樹會慢慢停下,用手撥一下吉他後聲音會越來越小,等等。阻尼現象是自然界中最為普遍的現象之一。

例子:彈簧阻尼器振子[編輯]

彈簧阻尼器振子示意圖。圖中B 表示阻尼係數(通常用c 表示),F 表示作用在質量塊上的外力。在以下的分析中假設F = 0。

理想的彈簧阻尼器振子系統如右圖所示。分析其受力分別有:

  • 彈性力k 為彈簧的勁度係數x 為振子偏離平衡位置的位移):F_\mathrm{s} = -kx
  • 阻尼力c 為阻尼係數,v 為振子速度):F_\mathrm{d} = - c v = - c \dot{x} = - c \frac{dx}{dt}

假設振子不再受到其他外力的作用,於是可利用牛頓第二定律寫出系統的振動方程式:


\sum F = ma = m \ddot{x} = m \frac{d^2x}{dt^2}

其中a加速度

運動微分方程式[編輯]

上面得到的系統振動方程式可寫成如下形式,問題歸結為求解位移x 關於時間t 函數的二階常微分方程式:

m \ddot{x} + c \dot{x} + k x = 0

將方程式改寫成下面的形式:

\ddot{x} + { c \over m} \dot{x} + {k \over m} x = 0.

然後為求解以上的方程式,定義兩個新參量:

\omega_n = \sqrt{ k \over m }
\zeta = { c \over 2 \sqrt{k m} }.

上面定義的第一個參量,ωn,稱為系統的(無阻尼狀態下的)固有頻率。 第二個參量,ζ,稱為阻尼比。根據定義,固有頻率具有角速度因次,而阻尼比為無因次參量。

微分方程式化為:


\ddot{x} + 2 \zeta \omega_n \dot{x} + \omega_n^2  x = 0.

根據經驗,假設方程式解的形式為

\ x = e^{\gamma t} \

其中參數\ \gamma \ 一般為複數

將假設解的形式代入振動微分方程式,得到關於γ的特徵方程式


\gamma^2 + 2 \zeta \omega_n \gamma + \omega_n^2 = 0.

解得γ為:


\gamma = \omega_n( - \zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - 1}).

系統行為[編輯]

欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼體系的典型位移-時間曲線

系統的行為由上小結定義的兩個參量——固有頻率ωn和阻尼比ζ——所決定。特別地,上小節最後關於 \gamma 二次方程式是具有一對互異實數根、一對重實數根還是一對共軛虛數根,決定了系統的定性行為。

臨界阻尼[編輯]

\zeta=1 時,\gamma \ 的解為一對重實根,此時系統的阻尼形式稱為臨界阻尼。現實生活中,許多大樓內房間或衛生間的門上在裝備自動關門的扭轉彈簧的同時,都相應地裝有阻尼鉸鏈,使得門的阻尼接近臨界阻尼,這樣人們關門或門被風吹動時就不會造成太大的聲響。

過阻尼[編輯]

\zeta > 1時,\gamma \ 的解為一對互異實根,此時系統的阻尼形式稱為過阻尼。當自動門上安裝的阻尼鉸鏈使門的阻尼達到過阻尼時,自動關門需要更長的時間。如記憶枕。

欠阻尼[編輯]

 0 < \zeta< 1時,\gamma \ 的解為一對共軛虛根,此時系統的阻尼形式稱為欠阻尼。在欠阻尼的情況下,系統將以圓頻率 \omega_\mathrm{d}=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}相對平衡位置作往複振動。

方程式的解[編輯]

  • 對於欠阻尼體系,運動方程式的解可寫成:

x (t)  \  =  \  A e^{- \zeta \omega_n t} \cos( \omega_\mathrm{d}  t + \varphi)

其中


\omega_\mathrm{d} =  \omega_n \sqrt{1 - \zeta^2  }

是有阻尼作用下系統的固有頻率,A 和φ 由系統的初始條件(包括振子的初始位置和初始速度)所決定。該振動解表徵的是一種振幅按指數規律衰減的簡諧振動,稱為衰減振動(見上圖中 \varsigma  < 1 的位移-時間曲線所示)。

  • 對於臨界阻尼體系,運動方程式的解具有形式

x(t) \ = \ (A+Bt)e^{-\omega_n t}

其中AB 由初始條件所決定。該振動解表徵的是一種按指數規律衰減的非周期運動。

  • 對於過阻尼體系,定義
\omega ^* = \omega _n \sqrt {\zeta ^2  - 1}

則運動微分方程式的通解可以寫為:


x(t) = e^{ - \varsigma \omega _n t} (A \cosh \omega ^*t + B \sinh \omega ^*t)

其中AB 同樣取決於初始條件,cosh 和 sinh 為雙曲函數。該振動解表徵的是一種同樣按指數規律衰減的非周期蠕動。從上面的位移-時間曲線圖中可以看出,過阻尼狀態比臨界阻尼狀態蠕動衰減得更慢。

參看[編輯]

參考資料[編輯]

  • 倪振華編著,《振動力學》,西安交通大學出版社,西安,1990,ISBN 7-5605-0212-1/O·44
  • R. W. Clough, J. Penzien, Dynamics of Structures, Mc-Graw Hill Inc., New York, 1975, ISBN 0-07-011392-0。(中文版:R.W.克拉夫,J.彭津著,王光遠等譯,《結構動力學》,科學出版社,北京,1981)

外部連結[編輯]