離心率

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離心率,或偏心率,是指圓錐曲線上的一點到平面內一定點的距離與到不過此點的一定直線的距離之比。其中此定點稱為焦點,而此定直線稱為準線

設一圓錐曲線 CC: d(P,M) = e \cdot d(L,M) 定義,其中 P焦點L準線(詳見主條目圓錐曲線),則此時 e 稱為 C離心率

與焦距和軸長的關係[編輯]

有固定焦點 F 和準線 D 的橢圓 (e=1/2)、拋物線 (e=1) 和雙曲線 (e=2)

圓錐曲線之離心率與軸長有下述關係:

 e = \dfrac{c}{a}

其中

  • c = 半焦距
  • a = 半長軸(橢圓)或半實軸(雙曲線)

或採用較融貫的表法:

 e = \sqrt{1-k \cdot \dfrac{b^2}{a^2}}

其中對橢圓取 k=1,對拋物線取 k=0,對雙曲線取 k=-1

圓錐曲線依離心率之分類如下

相關資料[編輯]

  • 標準橢圓方程:
 \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

此時半長軸=a,半短軸=b,焦距=2c,而且

 c^2 = a^2 - b^2
  • 標準雙曲線方程:
 \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

此時半實軸=a,半虛軸=b,焦距=2c,而且

 c^2 = a^2 + b^2