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整數

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各種各樣的
基本

\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}

正數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^+ \end{smallmatrix}
自然數 \begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}
正整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^+ \end{smallmatrix}
小數
有限小數
無限小數
循環小數
有理數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}
代數數 \begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}
實數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}
複數 \begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}
高斯整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}

負數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^- \end{smallmatrix}
整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}
負整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^- \end{smallmatrix}
分數
單位分數
二進分數
規矩數
無理數
超越數
虛數
二次無理數
艾森斯坦整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}

延伸

雙複數
四元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}
共四元數
八元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}
超數
上超實數

超複數
十六元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}
複四元數
大實數
超實數 \begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}
超現實數

其他

對偶數
雙曲複數
序數
質數
同餘
可計算數
艾禮富數

公稱值
超限數
基數
P進數
規矩數
整數數列
數學常數

圓周率 \begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}
 = 3.141592653…
自然對數的底 \begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}
 = 2.718281828…
虛數單位 \begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}
 = \begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}
無窮大 \begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}

群論
Rubik's cube.svg

整數,是序列{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}中所有的的統稱,包括負整數(0)與正整數。和自然數一樣,整數也是一個可數無限集合。這個集合在數學上通常表示為粗體Z\mathbb{Z},源於德語單詞Zahlen(意為「」)的首字母

代數數論中,這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數,用以和高斯整數等的概念加以區分。

正整數與負整數[編輯]

整數是一個集合,通常可以分為正整數、零(0)和負整數。正整數(符號:Z+\mathbb{Z}^{+})即大於0的整數,是正數與整數的交集。而負整數(符號:Z-\mathbb{Z}^{-})即小於0的整數,是負數與整數的交集。和整數一樣,兩者都是可數無限集合。除正整數和負整數外,通常將0與正整數統稱為非負整數(符號:Z+0\mathbb{Z}^{+}_{0}),而將0與負整數統稱為非正整數(符號:Z-0\mathbb{Z}^{-}_{0})。在數論自然數通常被視為與正整數等同,即1,2,3等,但在集合論計算機科學中自然數則通常是指非負整數,即0,1,2等。

代數性質[編輯]

下表給出任何整數abc加法乘法的基本性質。

性質 加法 乘法
封閉性 a + b  是整數 a \times b   是整數
結合律 a + (b + c) = (a + b) + c a \times (b \times c) = (a \times b) \times c
交換律 a + b = b + a a \times b = b \times a
存在單位元素 a + \boldsymbol {0}  = a a \times \boldsymbol {1} = a
存在逆元 a + (\boldsymbol {-a}) = 0 整數集中,只有1-1關於乘法存在整數逆元,其餘整數a關於乘法的逆元\frac{1}{a},都不為整數。
分配律 a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)

全體整數關於加法乘法形成一個環。環論中的整環無零因子環唯一分解域可以看作是整數的抽象化模型。

Z是一個加法循環群,因為任何整數都是若干個1或 -1的和。1和 -1是Z僅有的兩個生成元。每個元素個數為無窮個的循環群都與(Z,+)同構

有序性質[編輯]

Z是一個全序集,沒有上界和下界。Z的序列如下:

...< −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < ...

一個整數大於零則為正,小於零則為負。零既非正也非負。

整數的序列在代數運算下是可以比較的,表示如下:

  1. a < bc < d,則a + c < b + d
  2. a < bc > 0,則a * c < b * c;若c < 0,則a * c > b * c.

整數環是一個歐幾里德域

電腦中的整數[編輯]

Z的基數[編輯]

Z基數(或)是0,與N相同。這可以從Z建立一雙射函數N來證明,亦即該函數要同時滿足單射滿射的條件,例如:

f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & \mbox{if } x \ge 0 \\ 2|x|, & \mbox{if } x < 0 \end{cases}

當該函數的定義域僅限於Z,則證明ZN可建立一一對應的關係,即兩集等勢

參見[編輯]