黎曼幾何

維基百科,自由的百科全書
前往: 導覽搜尋
Para riemann.png

微分幾何中,黎曼幾何研究具有黎曼度量的光滑流形,即流形切空間上二次形式的選擇。它特別關注於角度、弧線長度及體積。把每個微小部分加起來而得出整體的數量。

19世紀,波恩哈德·黎曼把這個概念加以推廣。

兩個非歐幾里得幾何的特例是:球面幾何雙曲幾何

任意平滑流形容許黎曼度量及這個額外結構幫助解決微分拓撲問題。它成為偽黎曼流形複雜結構的入門。其中大部分都是廣義相對論的四維研究對象。

研究黎曼幾何先要熟悉以下主題:

  1. 度量張量
  2. 黎曼流形
  3. 列維-奇維塔聯絡
  4. 曲率
  5. 曲率張量

有用文章:

  1. 微分幾何主題列表
  2. 黎曼及度量幾何詞表

黎曼幾何古典理論[編輯]

以下是部分的黎曼幾何古典理論。

一般理論[編輯]

  1. 高斯-博內定理:緊緻2維黎曼流形高斯曲率的積分等於2\pi\chi(M)這裡的\chi(M)記作M歐拉示性數
  2. 納什嵌入定理(兩個)被稱為黎曼幾何的基礎理論。他們表明每個黎曼流形可以是嵌入歐幾里得空間Rn.

理論[編輯]

在所有以下定理中,我們用空間的局部行為(通常用曲率假設表述)來推出空間的整體結構的一些信息,包括流形的拓撲類型和"足夠大"距離的點間的關係。

受限截面曲率[編輯]

  1. 1/4-受限 球定理.M是完備n-維黎曼流形,其截面曲率嚴格限制於1和4之間,則M同胚於n-球。
  1. Cheeger's有限定理.給定常數CD,只有有限個(微分同胚的流形算作一個)緊n-維黎曼流形,其截面曲率|K|\le C並且直徑\le D
  1. Gromov的幾乎平坦流形.存在一個\epsilon_n>0使得如果一個n-維黎曼流形其度量的截面曲率|K|\le \epsilon_n且直徑\le 1,則其有限覆蓋微分同胚於一個零流形.

正曲率[編輯]

截面曲率[編輯]
  1. 靈魂定理M是一個不緊的完備正曲率n-維黎曼流形,則它微分同胚於Rn.
  2. Gromov的貝蒂數定理有一個常數C=C(n)使得若M是一個由正截面曲率的緊連通n-維黎曼流形,則它的貝蒂數之和不超過C.
里奇曲率[編輯]
  1. Myers定理.若一個緊黎曼流形有正Ricci曲率則它的基本群有限。
  1. 分裂定理.若一個完備的n-維黎曼流形有非負Ricci曲率和一條直線(在任何區間上的距離都極小的測地線)則它等度同胚於一條實直線和一個有非負Ricci曲率的完備(n-1)-維黎曼流形的直積。
  1. Bishop's不等式.半徑為r的球在一個有正Ricci曲率的完備n-維黎曼流形中的體積不超過歐幾里得空間中同樣半徑的球的體積。
  1. Gromov's緊緻性定理.所有正Ricci曲率且直徑不超過D的黎曼流形在Gromov-Hausdorff度量下是仿緊的。
數量曲率[編輯]
  1. n-維環不存在有正數量曲率的度量。
  1. 若一個緊n-維黎曼流形的單射半徑\ge \pi,則數量曲率的平均值不超過nn-1)。

負曲率[編輯]

截面曲率[編輯]
  1. 任何有非正截面曲率的單連通黎曼流形的兩點有唯一的測地線連接。
  1. M是一個有負截面曲率的完備黎曼流形,則基本群的任何可交換子群同構於整數群Z
  1. 設V*是一\mathbb{R}-rank\geq2的緊緻不可約局部對稱空間,設V是一截面曲率K\leq 0的緊緻C^{\infty}黎曼流形,若vol(V)=vol(V^*),且\pi_1(V)=\pi_1(V^*),則VV^*等距。
里奇曲率[編輯]
  1. 任何有負里奇曲率的緊黎曼流形有一個離散的等距同胚群
  2. 任何光滑流形可以加入有負里奇曲率的黎曼度量。

參考文獻[編輯]

  • Marcel Berger, Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century, (2000) University Lecture Series vol. 17, American Mathematical Society, Rhode Island, ISBN 0-8218-2052-4. (Provides a historical review and survey, including hundreds of references.)
  • Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 (Provides a formal introduction, written at the grad-student level.)
  • Peter Peterson, Riemannian Geometry, (1998) Springer-Verlag, Berlin ISBN 0-387-98212-4. (Provides an introduction, presented at an undergrad level.)