2的√2次方

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2^{\sqrt{2}}的值為:

2^{\sqrt{2}}=2.6651441...

阿勒克山德·格爾豐德利用格爾豐德-施奈德定理證明這是一個超越數,回答了希爾伯特第七問題

它的平方根也是一個超越數。

\sqrt{2^{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}=1.6325269...

這可以用來說明一個無理數的無理數次方有時可以是有理數,因為這個數的\sqrt{2}次方等於2。

即:

\left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}=(\sqrt{2})^{\sqrt{2}\ \times\sqrt{2}}=(\sqrt{2})^{2}=2.

希爾伯特第七問題[編輯]

希爾伯特的第七個問題是要證明(或找出反例),如果a是一個不等於0或1的代數數,b是一個無理代數數,則ab總是超越數。他給出了兩個例子,其中一個就是2^{\sqrt{2}}

1919年,他發表了一個關於數論的演講,談到了三個猜想:黎曼猜想費馬大定理2^{\sqrt{2}}的超越性。他對觀眾說,在你們還活著的時候肯定沒人證明這三個猜想。[1]但這個數的超越性在1934年得出證明[2],當時希爾伯特還活著。

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

  1. ^ David Hilbert, Natur und mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919-1920.
  2. ^ Aleksandr Gelfond, Sur le septième Problème de Hilbert, Bull. Acad. Sci. URSS Leningrade 7, pp.623-634, 1934.