e (數學常數)

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基本

\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}

正數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^+ \end{smallmatrix}
自然數 \begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}
正整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^+ \end{smallmatrix}
小數
有限小數
無限小數
循環小數
有理數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}
代數數 \begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}
實數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}
複數 \begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}
高斯整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}

負數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^- \end{smallmatrix}
整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}
負整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^- \end{smallmatrix}
分數
單位分數
二進分數
規矩數
無理數
超越數
虛數
二次無理數
艾森斯坦整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}

延伸

雙複數
四元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}
共四元數
八元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}
超數
上超實數

超複數
十六元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}
複四元數
大實數
超實數 \begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}
超現實數

其他

對偶數
雙曲複數
序數
質數
同餘
可計算數
艾禮富數

公稱值
超限數
基數
P進數
規矩數
整數數列
數學常數

圓周率 \begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}
 = 3.141592653…
自然對數的底 \begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}
 = 2.718281828…
虛數單位 \begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}
 = \begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}
無窮大 \begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}

e 是使在x=0 點上 f (x)=ax(藍色曲線)的導數(切線的斜率)值為1之a的唯一值。對比一下,函數2x(虛點曲線)和4x(虛線曲線)和斜率為1、y-截距為1的直線(紅色)並不相切。

e,作為數學常數,是自然對數函數底數。有時稱它為歐拉數Euler's number),以瑞士數學家歐拉命名;也有個較鮮見的名字納皮爾常數,以紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數。它是一個無限不循環小數。它的數值約是(小數點後20位,OEISA001113):

e = 2.71828182845904523536\cdots

歷史[編輯]

第一次提到常數e,是約翰·納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。但它沒有記錄這常數,只有由它為底計算出的一張自然對數列表,通常認為是由威廉·奧特雷德(William Oughtred)製作。第一次把e看為常數的是雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli),他嘗試計算下式的值:

\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n

已知的第一次用到常數e,是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信,以b表示。1727年歐拉開始用e來表示這常數;而e第一次在出版物用到,是1736年歐拉的《力學》(Mechanica)。雖然往後年日有研究者用字母c表示,但e較常用,終於成為標準。

e表示的確實原因不明,但可能因為e是「指數」(exponential)一字的首字母。另一看法則稱abcd有其他經常用途,而e是第一個可用字母。

定義[編輯]

就像圓周率\begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}
虛數單位i\begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}
 是數學中最重要的常數之一。它有幾種等價定義,下面列出一部分。

最常見的四種 e 的定義如下:

1. 定義 e 爲下列極限值:
e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
2. 定義 e 爲下列無窮級數之和:
e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!}
  + {1 \over 2!} + {1 \over 3!}
  + {1 \over 4!} + \cdots
其中 n! 代表 n 的階乘
3. 定義 e 爲唯一的正數 x 使得
\int_{1}^{x} \frac{1}{t} \, dt = {1}
4. 定義 e 爲唯一的實數 x 使得
\lim_{h\to 0}\frac{x^h-1}{h}=1

這些定義可證明是等價的。

性質[編輯]

\sqrt[x]{x} 的極大值在x=e.

很多增長或衰減過程都可以用指數函數模擬。指數函數e^{x} 的重要性,在於它是唯一的函數(零多項式函數除外)與自身導數相等(乘以常數,最一般的函數形式為 ke^{x} ,k 為任意常數)。即:

  • \frac{d\left( e^x \right)}{d x}=e^x
= 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ...

x為複數時依然成立,因此根據\sin x\cos x的泰勒級數,得出在數學中一條稱為歐拉公式的重要等式:

e^{\mathrm{i}x} = \cos x + {\rm i}\sin x \,\!

 x = \pi 的特例是歐拉恆等式

e^{\mathrm{i}\pi} + 1 = 0 \,\!

這式被理察·費曼稱為「歐拉的寶石」。

(\cos x + i\sin x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos (nx) + i \sin (nx)

棣莫弗公式

  •  x = e 時函數f(x) = \sqrt[x]{x}有最大值。
  • e 的無窮連分數展開式有個有趣的模式,可以表示如下(OEISA003417):
e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12,\ldots]

就像以下的展開式:

e = 2+
\cfrac{1}
   {1+\cfrac{1}
      {\mathbf 2 +\cfrac{1}
         {1+\cfrac{1}
            {1+\cfrac{1}
               {\mathbf 4 +\cfrac{1}
                  {1+\cfrac{1}
                     {1+\cfrac{1}
                        {\mathbf 6 +\cfrac{1} 
               {1+\ddots}
                        }
                     }
                  }
               }
            }
         }
      }
   }

無理數證明[編輯]

反證法[編輯]

證明 e 是無理數可以用反證法。假設 e 是有理數,則可以表示成 a/b,其中 a,b 為正整數。以 e 的無窮級數展開式可以得出矛盾。

考慮數字

x = b\,! \left(e-\sum_{i=0}^b {1 \over i\,!}\right)

以下將推導出x是小於1的正整數;由於不存在這樣的正整數,得出矛盾,所以得證e是無理數。

  • x是整數,因為
0 < x = b\,! \left(e - \sum_{i=0}^b {1 \over i\,!}\right) = b\,! \left({a \over b} - \sum_{i=0}^b {1 \over i\,!}\right)
= a (b-1)! - \sum_{i=0}^b {b\,! \over i\,!}
= a (b-1)! - \left(1 + \sum_{n=0}^{b-1} b(b-1)\cdots(n+1)\right)
  • x是小於1的正數,因為
0 < x = b\,! \sum_{n=b+1}^\infty {1 \over n!}
= \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)(b+2)} + \frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)} + \cdots
< \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)^2} + \frac{1}{(b+1)^3} + \cdots = {1 \over b} \le 1

但是0與1之間(不含0與1)不存在有整數,故原先假設矛盾,得出e為無理數。

二項式定理[編輯]

n為存在的數值,所以用二項式定理可證出:

e  = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
 =\lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^{n}C_{i}^{n}1^{n-i}\left(\frac{1}{n}\right)^i
 =\lim_{n\to\infty} \left[C_{0}^{n}1^{n}\left(\frac{1}{n}\right)^0+C_{1}^{n}1^{n-1}\left(\frac{1}{n}\right)^1+C_{2}^{n}1^{n-2}\left(\frac{1}{n}\right)^2+C_{3}^{n}1^{n-3}\left(\frac{1}{n}\right)^3+...+C_{n}^{n}1^0\left(\frac{1}{n}\right)^n\right]
 =\lim_{n\to\infty} \left[1\times 1+n\times \frac{1}{n}+\frac{n!}{\left(n-2\right)!2!}\times \frac{1}{n^2}+\frac{n!}{\left(n-3\right)!3!}\times \frac{1}{n^3}+...+1\times \frac{1}{n^n}\right]
 =\lim_{n\to\infty} \left[1+1+\frac{n\times \left(n-1\right)}{2n^2}+\frac{n\times \left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3\times 2n^3}+...+\frac{1}{n^n}\right]
 =2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+...+0
 =2.71828...

已知位數[編輯]

e的已知位數[1][2]
日期 位數 計算者
1748年 18 Leonhard Euler
1853年 137 William Shanks
1871年 205 William Shanks
1884年 346 J. M. Boorman
1946年 808  ?
1949年 2,010 John von Neumann
1961年 100,265 Daniel Shanks & John W. Wrench
1978年 116,000 Stephen Gary Wozniak
1994年 10,000,000 Robert Nemiroff & Jerry Bonnell
1997年5月 18,199,978 Patrick Demichel
1997年8月 20,000,000 Birger Seifert
1997年9月 50,000,817 Patrick Demichel
1999年2月 200,000,579 Sebastian Wedeniwski
1999年10月 869,894,101 Sebastian Wedeniwski
1999年11月21日 1,250,000,000 Xavier Gourdon
2000年7月10日 2,147,483,648 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2000年7月16日 3,221,225,472 Colin Martin & Xavier Gourdon
2000年8月2日 6,442,450,944 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2000年8月16日 12,884,901,000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2003年8月21日 25,100,000,000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2003年9月18日 50,100,000,000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2007年4月27日 100,000,000,000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
2009年5月6日 200,000,000,000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
2010年2月21日 500,000,000,000 Alexander J. Yee
2010年7月5日 1,000,000,000,000 Shigeru Kondo & Alexander J. Yee
2014年11月15日 1,048,576,000,000 David Galilei Natale

諧取[編輯]

  • Google2004年的首次公開募股,集資額不是通常的整頭數,而是$2,718,281,828,這當然是取最接近整數的e十億美元。(順便一提,Google2005年的一次公開募股中,集資額是$14,159,265,與圓周率有關)
  • Google也是首先在矽谷心臟地帶,接著在麻薩諸塞州劍橋出現的神祕廣告版的幕後黑手,它寫著{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com(在e的連續數字中第一個發現的十位質數.com)。解決了這問題(第一個e中的十位質數是7427466391,出奇地到很後才出現,由第100個數字開始),進入網站後還有個更難的題目要解決,最後會到達Google的招聘頁。但這個挑戰已結束,上述網站都已關閉。
  • 著名電腦科學家高德納的軟體Metafont的版本號碼趨向e(就是說版本號碼是2,2.7,2.71,2.718等)。

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

  1. ^ Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant e and its computation
  2. ^ Gourdon, X.; Reported large computations with PiFast