全微分方程

全微分方程是常微分方程的一种，它在物理学和工程学中广泛使用。

定义

给定R²的一个单连通的开子集D和两个在D内连续的函数I和J，那么以下形式的一阶常微分方程

$I(x,y)\,\mathrm {d} x+J(x,y)\,\mathrm {d} y=0,\,\!$

称为全微分方程，当且仅当存在一个连续可微的函数F，称为势函数，使得

${\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=I$

以及

${\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=J.$

“全微分方程”的命名指的是函数的全导数。对于函数$F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})$，全导数为：

${\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x_{0}}}={\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x_{0}}}.$

例子

函数

$F(x,y):={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})$

是以下全微分方程的势函数。

$xx'+yy'=0.\,$

势函数的存在

在物理学的应用中，I和J通常不仅是连续的，也是连续可微的。施瓦茨定理（也称为克莱罗定理）提供了势函数存在的一个必要条件。对于定义在单连通集合上的微分方程，这个条件也是充分的，我们便得出以下的定理：

给定以下形式的微分方程：

$I(x,y)\,dx+J(x,y)\,dy=0,\,\!$

其中I和J在R²的单连通开子集D上是连续可微的，那么势函数F存在，当且仅当下式成立：

${\frac {\partial I}{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial J}{\partial x}}(x,y).$

全微分方程的解

给定一个定义在R²的单连通开子集D上的全微分方程，其势函数为F，那么D内的可微函数f是微分方程的解，当且仅当存在实数c，使得

$F(x,f(x))=c.\,$

对于初值问题

$y(x_{0})=y_{0}\,$

我们可以用以下公式来寻找一个势函数：

$F(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}I(t,y_{0})dt+\int _{y_{0}}^{y}J(x,t)dt.$

解方程

$F(x,y)=c\,$

其中c是实数，我们便可以构造出所有的解。

参见

• 全微分
• 里卡蒂方程
• 伯努利微分方程
• 柯西-欧拉方程
• 克莱罗方程
• 线性微分方程

参考文献

• Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4th ed. New York: Wiley, 1986.
• Ross, C. C. §3.3 in Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 2004.
• Zwillinger, D. Ch. 62 in Handbook of Differential Equations. San Diego, CA: Academic Press, 1997.