局部域

在數學上，局部域是一類特別的域，它有非平凡的絕對值，此絕對值賦予的拓撲是局部緊的。局部域可粗分為兩類：一種的絕對值滿足阿基米德性質（稱作阿基米德局部域），另一種的絕對值不滿足阿基米德性質（稱作非阿基米德局部域）。在數論中，數域的完備化給出局部域的典型例子。

非阿基米德局部域[编辑]

設 $F$ 為非阿基米德局部域，而 $|\cdot |$ 為其絕對值。關鍵在下述對象：

上述對象與賦值環的構造相呼應；事實上，可證明必存在實數 $0<c<1$ 及離散賦值 $v:F^{\times }\rightarrow \mathbb {Z}$ ，使得

\forall a\in F\;c^{v(a)}=|a|

.

可取唯一的 $c$ 使得 $v$ 為滿射，稱之為正規化賦值。

從此引出非阿基米德局部域的另一個等價定義：一個域 $F$ ，帶離散賦值 $v:F^{\times }\rightarrow \mathbb {Z}$ ，使得 $F$ 成為完備的拓撲域，而且剩餘域有限。

這類局部域的行為可由局部類域論描述。

局部域的完整分類如次：

$\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ 。這些是阿基米德局部域。
p進數域 $\mathbb {Q} _{p}$ 的有限擴張。這些是特徵為零的非阿基米德局部域。
$\mathbb {F} _{q}((T))$ 的有限擴張（其中 $\mathbb {F} _{q}$ 表有q個元素的有限域）。這些是特徵非零的非阿基米德局部域。