整性

整性是交換代數中的概念，用于描述在有理数域的某些扩域中，某些元素是否有类似于整数的性质。元素的整性（是否为整元素）本质上只依赖于環的概念。整性與環的整擴張推廣了代數數與代數擴張的概念。

定義[编辑]

以下所論的環皆為含單位元的交換環。

設有環 $A$ 、 $B$ ， $A$ 為 $B$ 的子環。设 $t$ ∈ $B$ 。若存在以 $A$ 中元素为系数的首一多項式 $P$ ∈ $A$ $[X]$ ，使得 $P$ $(t) =$ 0，則稱 $t$ 是 $A$ 上的整元素。如果 $B$ 的每個元素都是 $A$ 上的整元素，則稱 $B$ 為 $A$ 的整擴張。

由有限性刻劃[编辑]

假設同上。環的乘法與加法運算賦予 $B$ 自然的 $A$ -模結構。對於一個元素 $b\in B$ ，下述條件彼此等價：

$b$ 在 $A$ 為整。
子環 $A[b]$ 是有限生成的 $A$ -模。
存在包含 $A\cup \{b\}$ 的子環 $C\subset B$ ，而且 $C$ 是有限生成的 $A$ -模。

此命題最常見的證明是利用關於行列式的凱萊-哈密頓定理。

閉包性質[编辑]

（整閉包）利用有限性的刻劃，可知 $A$ 上的整元構成 $B$ 的子環，稱為 $A$ 在 $B$ 中的整閉包。
（可遞性）考慮環擴張 $A\subset B\subset C$ ，若 $B$ 是 $A$ 的整擴張，而 $c\in C$ 在 $B$ 上為整，則它在 $A$ 上為整。特別是：若 $B/A$ 、 $C/B$ 皆為整擴張，則 $C/A$ 亦然。

整同態[编辑]

在整性的定義中，子環條件 $A\subset B$ 可以放寬為一個同態 $f:A\to B$ ， $b\in B$ 在 $A$ 上的整性定義為它對同態像 $f(A)$ 的整性，整擴張的定義可以類似地推廣。透過同態 $f:A\to B$ ，同樣可賦予 $B$ 一個 $A$ -模結構，此時有限性判準依然成立。

文獻[编辑]

Atiyah, M. F., and I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9