球面像差

球面像差（英語：SA/Spherical aberration），是指發生在經過透鏡折射或面鏡反射的光線，接近中心與靠近邊緣的光線不能將影像聚集在一個點上的現象。這在望遠鏡和其他的光學儀器上都是一個缺點。這是因為透镜和面鏡必须满足所需的形狀，否则不能聚焦在一個點上造成的。 球面像差與鏡面直徑的四次方成正比，與焦長的三次方成反比，所以他在低焦比的鏡子，也就是所謂的「快鏡」上就比較明顯。

對使用球面鏡的小望遠鏡，當焦比低於f/10時，來自遠處的點光源（例如恆星）就不能聚集在一個點上。特別是來自鏡面邊緣的光線比來自鏡面中心的光線更不易聚焦，這造成影像因為球面像差的存在而不能很清晰的成象。所以焦比低於f/10的望遠鏡通常都使用非球面鏡或加上修正鏡。

在透鏡系統中，可以使用凸透鏡和凹透鏡的組合來減少球面像差，就如同使用非球面透鏡一樣。

• 
  球面像差。一個理想的鏡面(頂端)，能經所有入射的光線匯聚在光軸上的一個點，但一個真實的鏡面(底端)會有球面像差：靠近光軸的光線會比離光軸較遠的光線較為緊密的匯聚在一個點上，因此光線不能匯聚在一個理想的焦點上(圖較為誇張)
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  一個 點光源 在負球面像差(上) 、無球面像差(中)、和正球面像差(下)的系統中的成像情形。左面的影像是在焦點內成像，右邊是在焦點外的成像
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  平行光束通過透鏡後聚焦像的縱切面，上：負球面像差，中：無球面像差，下：正球面像差。鏡子位於圖的左側
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  來自球面鏡的球面像差

球面像差公式

单球面

一个球面，PA 为由球面顶点到非近轴光线入射点距离，球面左右介质的折射率分别为n，n'；非近轴入射角，折射角分别为J，J'；非近轴入射线和折射线与光轴的夹角分别为U，U'；近轴光线的入射角为i；这个球面对球面像差的贡献为

球面像差=${\frac {-2*PA*sin(-(1/2)*J'+(1/2)*J)*sin((1/2)*J'-(1/2)*U)*n*i}{(n'*u'*sin(U))}}$

在四种情况下，球面像差为零：

1. PA=0：物体和像与球面顶点重合；
2. I'=I：物体和物象在球面的曲率中心；
3. i=0；
4. I=U'或I'=U：在这种情形下的球面成为消球差曲面。

消球差球面

根据球面折射的基本方程可以导出：

$L={\frac {r*(n+n')}{n}}$

$L'={\frac {r*(n+n')}{n'}}$

对于消球差曲面，凡是射向同一点B入射光，其折射线与光轴相交于一个共同点B'。

$BC=L-r=r*{\frac {n}{n'}}$

$BC=L'-r=r*{\frac {n'}{n}}$

例如，n=1，n'=1.5。

$L=2.5*r$

$L'=1.6667*r$

消球差曲面多用于高倍率显微镜的物镜。一个消球差薄透镜由一个消球差球面和一个平面镜组成，对于平行光。消球差薄透镜等同一块平板玻璃，对于聚合光束，消球差薄透镜增加光束的聚合度，对于发散光束，消球差薄透镜增加光束的发散度。

同轴球面系

对于一个由多个球面组成镜头，球面像差由以下公式给出：

LA'=trans+newsp

其中 trans=${\frac {LA*n[1]*n'[1]*sin(U[1])}{(n'[k]*u'[k]*sin(U'[k]))}}$

newsp= $\sum _{k=1}^{k}({\frac {-2*PA*sin(-(1/2)*J'+(1/2)*J)*sin((1/2)*J'-(1/2)*U)*n*i}{(n'[k]*u'[k]*sin(U[k]))}}$

球面像差展开式

球面像差可表示为

LA'=$a*Y^{2}+b*Y^{4}+c*Y^{6}+$………………。其中Y是入射光线的在球面入射点到光轴的距离。

球面像差
红线代表二次项，蓝线代表二次和四次项之和，黑线为二、四、六次项之和

薄透镜组的球面像差

亚历山大·尤金·康拉迪推导出薄透镜组的球面像差公式如下:

SC=${\frac {y^{4}}{n_{0}'*u_{0}^{2}}}*\sum (G_{1}*c^{3}-G_{2}*c^{2}*c_{1}+G_{3}*c^{2}*v_{1}+G_{4}*c*c_{1}*v_{1}+G_{6}*c*v_{1}^{2})$。

其中“0”代表最后的结果，Σ代表对各镜片之和

$c={\frac {1}{f*(n-1)}}$

$c={\frac {1}{r_{1}}}$

$G_{1}={\frac {n^{2}*(n-1)}{2}}$

$G_{2}={\frac {1}{2}}*(2*n+1)(n-1)$

$G_{3}={\frac {1}{2}}*(3n+1)(n-1)$

$G_{4}={\frac {1}{2*n}}*(n+2)(n-1)$

$G_{5}{\frac {1}{2*n}}*(n^{2}-1)$

$G_{6}={\frac {1}{2*n}}*(3*n+2)$

薄透镜的球面像差

对于单薄镜片，上式可简化为。

单镜片的球面像差=LA'=$-y^{2}*l'^{2}*(\sum (G_{1}*c^{3}-G_{2}*c^{2}*c_{1}+G_{3}*c^{2}*v_{1}+G_{4}*c*c_{1}*v_{1}+G_{6}*c*v_{1}^{2})$

令上式对c_1的导数为零，可求得单镜片具有最小球面像差的条件:

${\frac {dLA'}{dc_{1}}}$=$-y^{2}*l'^{2}*(-G_{2}*c^{2}+2*G_{4}*c*c_{1}-G_{5}*c*v_{1})=0$

即 $c_{1}={\frac {G_{2}c+G_{5}v_{1}}{2G_{4}}}$=${\frac {0.5*n*(2*n+1)*c+2*(n+1)*v_{1}}{n+2}}$.

当物距为无穷远时，v_1=0;

于是

${\frac {c_{2}}{c_{1}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {2n-n-4}{n*(2n+1)}}$。

n	r_1/r_2
1.5	-6
1.518	-6.7374
1.6	-14
1.7	93.5
1.8	12.1765
2	5
3	1.9
4	1.5

参考文献

• von Rohr莫里兹·冯·罗尔, Moritz. Geometrical Investigation of the Formation of Images in Optical Instruments. H.M.STATIONARY, LONDON. 1920. 

• Conrady亚历山大·尤金·康拉迪, Alexander Eugen. applied Optics & Optical design. DOVER PUBLICATION. 1957. 

• Kingslake 鲁道夫·京斯莱克, Rudolf. LENS DESIGN FUNDAMENTALS. ACADEMIC PRESS,NEW YORK. 1978. ISBN 012374301X. 

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