空集公理

正式表述[编辑]

$(N)$ — $(\exists A)(\forall x)[\neg (x\in A)]$

直觀上這個公理說：

有着一个集合使得「没有集合」是它的元素。

定理 —
$\vdash (\exists !x)[\,(\forall y)(y\not \in x)\,]$

證明
假設 $(\forall y)(y\not \in x)$ $(\forall y)(y\not \in t)$ 那根據量詞公理(A4)有 $\neg (y\in x)$ $\neg (y\in t)$ 另一方面根據常用的推理性質的(M0)有 $\vdash (y\not \in x)\Rightarrow [\,(y\in x)\Rightarrow (y\in t)\,]$ $\vdash (y\not \in t)\Rightarrow [\,(y\in t)\Rightarrow (y\in x)\,]$ 這樣就會有 $(y\in x)\Rightarrow (y\in t)$ $(y\in t)\Rightarrow (y\in x)$ 這樣根據(AND)有 $(y\in x)\Leftrightarrow (y\in t)$ 因為前面的 $y$ 在一開始假設裡完全被約束，所以對上式以 $y$ 使用(GEN)有 $(\forall y)(y\in x)\Leftrightarrow (y\in t)$ 綜上所述 $(\forall y)(y\not \in x),\,(\forall y)(y\not \in t)\vdash x=t$ 這樣根據普遍化就有 $\vdash (\forall x)(\forall t){\big \{}[(\forall y)(y\not \in x)\wedge (\forall y)(y\not \in t)]\Rightarrow (x=t)\}$ 再以(AND)綜合空集公理，本定理就得証了。 $\Box$

也就是直觀上，「空集是唯一存在的」，這樣根據函數符號與唯一性，可以在 Zermelo-Fraenkel 集合论加入新的常數符號 $\varnothing$ 和以下的新公理

$(N^{\prime })$ — $(\forall y)(y\not \in \varnothing )$

一般所稱的空集公理指的是 $(N^{\prime })$ ，而不是據以定義常數符號 $\varnothing$ 的原始公理 $(N)$ 。

我们可以使用外延公理来证明只有一个这样的集合。因为它是唯一的，我们可以簡單名之為空集，并將其標記为 {} 或 $\varnothing$ 。因此这个公理的本质是：

存在一个空集。

空集公理一般被认为是无可争议的，它或它的等价命題出现在任何可替代的集合论的公理化中。

在 ZF 的某些陳述版本中，空集公理实际上在无穷公理中是重复的。换句话说，有不预設空集存在的另一种公理版本。还有，以一常量符号表示空集的話，藉此可以把其他 ZF 公理重寫成更簡潔的版本；那么无穷公理也會用到这个符号而不要求它是空的，尽管需要空集公理来表明它实际上是空的。

而且，在那些不包含无穷集合的集合论中，空集公理仍是需要的。就是说，使用分离公理模式，声称任何集合存在的任何公理都蕴涵空集公理。

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