莫比乌斯带

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莫比乌斯带

莫比乌斯带德语Möbiusband),又譯梅比斯環麦比乌斯带,是一种拓扑学结构,它只有一个面(表面),和一个边界。它是由德国数学家天文学家莫比乌斯约翰·李斯丁(Johhan Benedict Listing)在1858年独立发现的。这个结构可以用一个纸带旋转半圈再把两端粘上之后轻而易举地制作出来。事实上有两种不同的莫比乌斯带镜像,他们相互对称。如果把纸带顺时针旋转再粘贴,就会形成一个右手性的莫比乌斯带,反之亦类似。

莫比乌斯带本身具有很多奇妙的性质。如果从中间剪开一个莫比乌斯带,不会得到两个窄的带子,而是会形成一个把纸带的端头扭转了两次再结合的环(并不是梅比斯環),再把剛剛做出那個把纸带的端头扭转了两次再结合的环從中間剪開,則變成兩個環。如果你把带子的宽度分为三分,并沿着分割线剪开的话,会得到两个环,一个是窄一些的莫比乌斯带,另一个则是一个旋转了两次再结合的环。另外一个有趣的特性是将纸带旋转多次再粘贴末端而产生的。比如旋转三个半圈的带子再剪开后会形成一个三叶结。剪开带子之后再进行旋转,然后重新粘贴则会变成数个Paradromic

莫比乌斯带常被认为是无穷大符号「」的创意来源,因为如果某个人站在一个巨大的莫比乌斯带的表面上沿着他能看到的“路”一直走下去,他就永远不会停下来。但是这是一个不真实的传闻,因为「∞」的发明比莫比乌斯带还要早。

几何学与拓扑学结构[编辑]

用Matlab描绘的莫比乌斯带

一个利用参数方程式创造出立体莫比乌斯带的方法:

\begin{align}
&x(u,v)=\left(1+\frac{v}{2}\cos\frac{u}{2}\right)\cos(u)\\
&y(u,v)=\left(1+\frac{v}{2}\cos\frac{u}{2}\right)\sin(u)\\
&z(u,v)=\frac{v}{2}\sin\frac{u}{2}\\
&(0 \leq u < 2\pi,-1 \leq v \leq 1)
\end{align}

这个方程组可以创造一个边长为1半径为1的莫比乌斯带,所处位置为x-y面,中心为(0,0,0)。参数uv从一个边移动到另一边的时候环绕整个带子。

如果用圆柱坐标系r,θ,z)表示的话,一个无边界的莫比乌斯带可以表示为:

\log(r)\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=z\cos\left(\frac{\theta}{2}\right).

从拓扑学上来讲,莫比乌斯带可以定义为矩阵[0,1]×[0,1],边由在0 ≤ x ≤ 1的时候(x,0)~(1-x,1)决定,如右图所示。

莫比乌斯带是一个二维的紧致流形(即一个有边界的),可以嵌入到三维或更高维的流形中。它是一个不可定向的的标准范例,可以看作RP2 # RP2。同时也是数学上描绘纤维丛的例子之一。特别地,它是一个有一纤维单位区间I = [0,1]的圆S1上的非平凡丛。仅从莫比乌斯带的边缘看去给出S1上一个非平凡的两个点(或Z2)的从。

有关的物体[编辑]

和莫比乌斯带非常近似的一个几何学物体叫做克莱因瓶。一个克莱因瓶可以用粘贴两个莫比乌斯带的方法制作出来。但是如果物体不进行自我交叉,这个步骤在三维空间内是不可能完成的。

另外一个相近的结构是實射影平面。如果在實射影平面上有一个洞的话,从左侧看就会形成一个莫比乌斯带。或者把莫比乌斯带的边界进行有限定义,就会形成一个真投影屏面。更形象地说法是重建莫比乌斯带的边缘形成一个普通的环。有一种普遍的误解认为如果不进行平面的自我交叉就无法在三维空间内形成一个有普通环边缘的莫比乌斯带。事实上是可能的,方法是这样的:定义C为xy面上的单位圆,现在连接C上面的对拓点,比如θ和θ + π。当θ在0到π/2之间运动的时候,在xy面上方做这条线的反余切,其他情况则在面下做反余切。

艺术和科技[编辑]

  • 莫比乌斯带为很多艺术家提供了灵感,比如美术家莫里茨·科内利斯·埃舍尔就是一个利用这个结构在他木刻画作品里面的人,最著名的就是莫比乌斯二代,图画中表现一些蚂蚁在莫比乌斯带上面前行。
  • 有一首小诗也描写了莫比乌斯带:
数学家断言:

莫比乌斯带只有一边。
如果你不相信,
就请剪开一个验证,
带子分离时候却还是相连。

  • 莫比乌斯带也被用于工业制造。一种从莫比乌斯带得到灵感的传送带能使用更长的时间,因为可以更好的利用整个带子,或者用于制造磁带,可以承载双倍的信息量。
  • 有一座钢制的莫比乌斯带雕塑位于美国华盛顿的史密斯森林历史和技术博物馆。
  • 荷兰建筑师Ben Van Berkel以莫比乌斯带为创作模型设计了著名的莫比乌斯住宅。
  • 在日本漫畫《哆啦A夢》中,哆啦A夢有個道具的外觀就是莫比烏斯帶;在故事中,只要將這個環套在門把上,則外面的人進來之後,看到的依然是外面。
  • 在電玩遊戲「音速小子-滑板流星故事」中最後一關魔王戰就是在莫比烏斯帶形狀的跑道上進行,如果不打敗魔王,就會一直在莫比烏斯帶上無限循環的跑下去。
  • 1988年在日本上映的動畫電影機動戰士GUNDAM 逆襲的夏亞以莫比烏斯帶作為對命運的隱喻:人類就好比行走在莫比烏斯帶上的螞蟻一般,永遠逃不出這個怪圈,不斷重覆著相同的錯誤,類同的悲劇也在不斷地上演。
  • 電影的主題歌BEYOND THE TIME(メビウスの宇宙を越えて)亦呼應了這個主題(日文メビウス就是Möbius的意思)。
  • jojo奇妙旅程第6部空條徐倫對c-moon一幕亦有於戰鬥中使用此結構。
  • 韩国导演金基德2013年的电影《莫比乌斯》命名就取材于莫比乌斯环,象征人性周而复始的重复悲剧和错误。
  • 網路上流傳一部動畫影片,用莫比烏斯帶原理,來解釋巴哈所著的逆行卡農作品。[1]

參見[编辑]

参考资料[编辑]

外部链接[编辑]