角平分線定理

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图中:BD:DC = AB:AC

角平分線定理英语Angle bisector theorem),或稱內分比斯霍騰定理,是一個幾何學的定理,在三角形ABC中,由A點作一角平分線與BC交於D,那

AB:AC = BD:DC

角平分線定理是分角定理\angle BAD = \angle DAC的情況,\frac{BD}{CD}=\frac{AB \sin \ang BAD}{AC \sin \ang CAD}=\frac{AB}{AC}

證明[编辑]

已知射線\overrightarrow{AD}\triangle ABC的角平分線,且射線\overrightarrow{AD}交線段BCD點,試證:\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}

面積法[编辑]

一條經過頂點,並與頂點的兩條鄰邊的夾角相等的一條射線,是三角形的角平分線。

根據角平分線定義,知\angle BAD = \angle DAC;過頂點A,作BC邊上的高AH

\mathrm{S}_{\triangle ABD}=\frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot\sin\angle BAD
\mathrm{S}_{\triangle ADC}=\frac{1}{2} \cdot DC \cdot AH = \frac{1}{2} AC\cdot AD \cdot\sin\angle DAC
上兩式相除,可得\frac{\mathrm{S}_{\triangle ABD}}{\mathrm{S}_{\triangle ADC}} = \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} 得證。

參見[编辑]