高斯光束的瞬时辐照度電腦繪圖 场强（蓝色）和辐照度（黑色）在坐标轴上的分布情况 在光学 中，高斯光束 （英語：Gaussian beam 电场 以及辐照度 分布近似满足高斯函数 的电磁波 光束。许多激光 都近似满足高斯光束的条件，在这种情况中，激光在光谐振腔 中以TEM00 波模（横向基模）传播。当它在满足近衍射极限的镜片中发生折射 时，高斯光束会变换成另一种不同参数的高斯光束，因此，高斯光束是激光光学中一种方便、广泛应用的模型。
描述高斯光束的数学函数是亥姆霍兹方程 的一个近轴近似 解（属于小角近似 的一种）。这个解具有高斯函数 的形式，代表了光束中电场分量的复振幅。尽管电磁波的传播包括电场 和磁场 两部分，研究其中任一个场，就足以描述波在传播时的性质。
高斯光束中，场的行为可以通过几个参数加以刻画，如光斑大小，曲率半径，古依相移等。
亥姆霍兹方程的近轴近似解可能不止一个。笛卡尔坐标系下求解可得一类称为厄米-高斯模的解，在柱坐标中求解则得到一类称为拉盖尔-高斯模的解。对这两类解，最低阶都是高斯光束，高阶解则描述了光学谐振腔中的高阶横向模。
数学形式 [ 编辑 ] 高斯光束作为电磁波的横向电磁模，通过求解近轴亥姆霍兹公式，可得电场的振幅
E
(
r
,
z
)
=
E
0
w
0
w
(
z
)
exp
(
−
r
2
w
2
(
z
)
)
exp
(
−
i
k
z
−
i
k
r
2
2
R
(
z
)
+
i
ζ
(
z
)
)
,
{\displaystyle E(r,z)=E_{0}{\frac {w_{0}}{w(z)}}\exp \left({\frac {-r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\exp \left(-ikz-ik{\frac {r^{2}}{2R(z)}}+i\zeta (z)\right)\ ,}
纳米激光器产生的激光 这里
r
{\displaystyle r}
z
{\displaystyle z}
i
{\displaystyle i}
虚数单位 （即
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
k
=
2
π
λ
{\displaystyle k={2\pi \over \lambda }}
波数 （以“弧度 /米”为单位）
E
0
=
|
E
(
0
,
0
)
|
{\displaystyle E_{0}=|E(0,0)|}
w
(
z
)
{\displaystyle w(z)}
e 、强度降到轴向的1/e 2 的点的半径
w
0
=
w
(
0
)
{\displaystyle w_{0}=w(0)}
R
(
z
)
{\displaystyle R(z)}
波前 的曲率半径
ζ
(
z
)
{\displaystyle \zeta (z)}
此外，上式中默认忽略了含时项
e
i
ω
t
{\textstyle e^{i\omega t}}
对应的辐照度时域平均值为
I
(
r
,
z
)
=
|
E
(
r
,
z
)
|
2
2
η
=
I
0
(
w
0
w
(
z
)
)
2
exp
(
−
2
r
2
w
2
(
z
)
)
,
{\displaystyle I(r,z)={|E(r,z)|^{2} \over 2\eta }=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w(z)}}\right)^{2}\exp \left({\frac {-2r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\ ,}
这里
I
0
=
I
(
0
,
0
)
{\displaystyle I_{0}=I(0,0)}
η
{\displaystyle \eta \,}
波阻抗
η
=
η
0
=
μ
0
ε
0
=
1
/
(
ε
0
c
)
≈
376.7
Ω
{\displaystyle \eta =\eta _{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}=1/(\varepsilon _{0}c)\approx 376.7\ \mathrm {\Omega } }
波束参数 [ 编辑 ] 高斯光束的许多性质由一系列波束参数决定，下面将分别予以介绍。
对于在自由空间传播的高斯光束，其腰斑
w
0
{\displaystyle w_{0}}
波长 为
λ
{\displaystyle \lambda }
z
{\displaystyle z}
w
(
z
)
=
w
0
1
+
(
z
z
R
)
2
.
{\displaystyle w(z)=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)}^{2}}}\ .}
这里将
z
=
0
{\displaystyle z=0}
z
R
=
π
w
0
2
λ
{\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}}
被称为瑞利距离 。
瑞利距离和共焦参数 [ 编辑 ] 与束腰轴向距离等于瑞利距离
z
R
{\displaystyle z_{R}}
w
(
±
z
R
)
=
w
0
2
.
{\displaystyle w(\pm z_{\mathrm {R} })=w_{0}{\sqrt {2}}.\,}
这两点之间的距离称作共焦参数 或光束的焦深 。
b
=
2
z
R
=
2
π
w
0
2
λ
.
{\displaystyle b=2z_{\mathrm {R} }={\frac {2\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}\ .}
曲率半径 [ 编辑 ]
R
(
z
)
{\displaystyle R(z)}
R
(
z
)
=
z
[
1
+
(
z
R
z
)
2
]
.
{\displaystyle R(z)=z\left[{1+{\left({\frac {z_{\mathrm {R} }}{z}}\right)}^{2}}\right]\ .}
光束偏移 [ 编辑 ] 当
z
≫
z
R
{\displaystyle z\gg z_{\mathrm {R} }}
w
(
z
)
{\displaystyle w(z)}
z
{\displaystyle z}
θ
≃
λ
π
w
0
(
θ
i
n
r
a
d
i
a
n
s
)
.
{\displaystyle \theta \simeq {\frac {\lambda }{\pi w_{0}}}\qquad (\theta \mathrm {\ in\ radians} ).}
在远离束腰的位置，光束弯散的总角度为
Θ
=
2
θ
.
{\displaystyle \Theta =2\theta \ .}
由于这一性质，聚焦于一个小点的高斯激光在远离这个点的传播过程中迅速散开。为了保持激光的准直，激光束必须具有较大的直径。束宽和光束偏移的这一关系是由于衍射 的缘故。非高斯光束同样会表现这一效应，但是高斯光束是一种特殊情况，其束宽和偏移的乘积是可能达到的最小值。
由于高斯光束模型使用了近轴近似，当波前与光传播方向倾斜程度大于30度之后，这种模型将不再适用[1]
2
λ
/
π
{\displaystyle 2\lambda /\pi }
激光束的质量可以用束参数乘积
w
0
{\displaystyle w_{0}}
2 ”。高斯光束的 M2 值为1，而所有的是激光束的 M2 值均大于1，并且质量越好的激光的 M2 值越接近1。
Gouy 相位 [ 编辑 ] 光束的轴向上的相位延迟，或称 Gouy 相位为
ζ
(
z
)
=
arctan
(
z
z
R
)
.
{\displaystyle \zeta (z)=\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)\ .}
当光束通过焦点时，除了正常情况下平面波的相移
e
−
i
k
z
{\displaystyle e^{-ikz}}
π
{\displaystyle \pi }
复数形式的光束参数 [ 编辑 ] 可以通过复数形式的光束参数
q
(
z
)
{\displaystyle q(z)}
q
(
z
)
=
z
+
q
0
=
z
+
i
z
R
.
{\displaystyle q(z)=z+q_{0}=z+iz_{\mathrm {R} }\ .}
倒数
1
/
q
(
z
)
{\displaystyle 1/q(z)}
q
(
z
)
{\displaystyle q(z)}
w
(
z
)
{\displaystyle w(z)}
R
(
z
)
{\displaystyle R(z)}
1
q
(
z
)
=
1
z
+
i
z
R
=
z
z
2
+
z
R
2
−
i
z
R
z
2
+
z
R
2
=
1
R
(
z
)
−
i
λ
π
w
2
(
z
)
.
{\displaystyle {1 \over q(z)}={1 \over z+iz_{\mathrm {R} }}={z \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}-i{z_{\mathrm {R} } \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}={1 \over R(z)}-i{\lambda \over \pi w^{2}(z)}.}
光束参数的复数形式在高斯光束传播的分析中有着重要地位，特别是当使用光线传递矩阵分析光谐振腔中光束传播。
利用复数光束参数
q
{\displaystyle q}
u
(
x
,
z
)
=
1
q
x
(
z
)
exp
(
−
i
k
x
2
2
q
x
(
z
)
)
.
{\displaystyle {u}(x,z)={\frac {1}{\sqrt {{q}_{x}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {x^{2}}{2{q}_{x}(z)}}\right).}
在二维的情况中，可以将散光的光束表达为乘积的形式
u
(
x
,
y
,
z
)
=
u
(
x
,
z
)
u
(
y
,
z
)
,
{\displaystyle {u}(x,y,z)={u}(x,z)\,{u}(y,z),}
对于圆对称 的普遍情况，
q
x
=
q
y
=
q
{\displaystyle {q}_{x}={q}_{y}={q}}
x
2
+
y
2
=
r
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}
[2]
u
(
r
,
z
)
=
1
q
(
z
)
exp
(
−
i
k
r
2
2
q
(
z
)
)
.
{\displaystyle {u}(r,z)={\frac {1}{{q}(z)}}\exp \left(-ik{\frac {r^{2}}{2{q}(z)}}\right).}
功率和辐照度 [ 编辑 ] 流经孔隙的功率 [ 编辑 ] 流经距离 z 轴半径为r 的圆的功率 为
P
(
r
,
z
)
=
P
0
[
1
−
e
−
2
r
2
/
w
2
(
z
)
]
,
{\displaystyle P(r,z)=P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]\ ,}
这里
P
0
=
1
2
π
I
0
w
0
2
{\displaystyle P_{0}={1 \over 2}\pi I_{0}w_{0}^{2}}
流经以
r
=
w
(
z
)
{\displaystyle r=w(z)\,}
P
(
z
)
P
0
=
1
−
e
−
2
≈
0.865
.
{\displaystyle {P(z) \over P_{0}}=1-e^{-2}\approx 0.865\ .}
类似的，占光波总能量约90%的部分将流经半径为
r
=
1.07
⋅
w
(
z
)
{\displaystyle r=1.07\cdot w(z)\,}
r
=
1.224
⋅
w
(
z
)
{\displaystyle r=1.224\cdot w(z)\,}
r
=
1.52
⋅
w
(
z
)
{\displaystyle r=1.52\cdot w(z)}
辐照度的峰值和平均值 [ 编辑 ] 在与束腰的轴向距离为
z
{\displaystyle z}
洛必达法则 ，可以计算该位置的辐射照度峰值
I
(
0
,
z
)
=
lim
r
→
0
P
0
[
1
−
e
−
2
r
2
/
w
2
(
z
)
]
π
r
2
=
P
0
π
lim
r
→
0
[
−
(
−
2
)
(
2
r
)
e
−
2
r
2
/
w
2
(
z
)
]
w
2
(
z
)
(
2
r
)
=
2
P
0
π
w
2
(
z
)
.
{\displaystyle I(0,z)=\lim _{r\to 0}{\frac {P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{\pi r^{2}}}={\frac {P_{0}}{\pi }}\lim _{r\to 0}{\frac {\left[-(-2)(2r)e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{w^{2}(z)(2r)}}={2P_{0} \over \pi w^{2}(z)}.}
可以看出，辐照度峰值为平均值的两倍，后者等于总能量除以半径为
w
(
z
)
{\displaystyle w(z)}
相關條目 [ 编辑 ] 参考文献 [ 编辑 ]
^ Siegman (1986) p. 630.
^ See Siegman (1986) p. 639. Eq. 29
Saleh, Bahaa E. A. and Teich, Malvin Carl. Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons. 1991. ISBN 0-471-83965-5 Mandel, Leonard and Wolf, Emil. Optical Coherence and Quantum Optics. Cambridge: Cambridge University Press. 1995. ISBN 0-521-41711-2 Siegman, Anthony E. Lasers. University Science Books. 1986. ISBN 0-935702-11-3 F. Pampaloni and J. Enderlein. Gaussian, Hermite-Gaussian, and Laguerre-Gaussian beams: A primer. 2004. arXiv:physics/0410021
![{\displaystyle R(z)=z\left[{1+{\left({\frac {z_{\mathrm {R} }}{z}}\right)}^{2}}\right]\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f310e9d1c7e6576652538b112939fccea751c633)
![{\displaystyle P(r,z)=P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0db91d35dd1a1a87ac320b949f2ebc8281f3732)
![{\displaystyle I(0,z)=\lim _{r\to 0}{\frac {P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{\pi r^{2}}}={\frac {P_{0}}{\pi }}\lim _{r\to 0}{\frac {\left[-(-2)(2r)e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{w^{2}(z)(2r)}}={2P_{0} \over \pi w^{2}(z)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03e0df72b94b3d79a4d65bc0e0f2de49022e577b)
